尽管张拉膜结构的形状多种多样,但其基本单元不外乎两种:马鞍形(双曲抛物面)和伞形(锥形)。其中带飞杆的伞形膜结构是设计中经常采用的一种结构形式,其设计的难点在于必须将结构中的飞杆、拉索等弹性构件与膜结构一起进行联合找形,否则难以准确求得膜的初始平衡形状和弹性构件的内力。

本文对这种带飞杆的伞形膜结构进行找形分析时采用了力密度法,将膜面离散成经纬向索网,用膜线单元模拟薄膜单元[1];将飞杆的“柱帽”简化成节点,用空间二节点直线杆元模拟弹性飞杆与下拉索。通过程序计算分析,讨论了设计中某些参数的取值对结构的影响。

在图1所示的整体坐标系O-XYZ中,沿任一空间索元建立局部坐标系i-xyz,则局部坐标系与整体坐标系O-XYZ夹角的方向余弦分别为:

其中,Lij为索元长度,计算式为:

根据空间索元的几何非线性有限元的U.L.列式,带弹性杆单元的膜结构力密度法找形平衡方程为:

其中,ΔUe为整体坐标系下的与弹性索杆单元相关的节点位移增量,且[ΔUe]=[ΔUi ΔVi ΔWiΔUj ΔVj ΔWj]T;r、rf分别表示与离散的膜线单元相关的自由节点坐标值与固定节点坐标值;[Ke]、[Kσ]、[Q]与[Qf]分别表示结构在整体坐标系下的弹性刚度矩阵、几何刚度矩阵与力密度矩阵[2,3,4],它们可分别由单元弹性刚度矩阵[ke]、单元几何刚度矩阵[kσ]及单元力密度矩阵[qe]组合而成;{Re}表示外荷载向量;{Fe}表示不平衡力向量,且:

t[ke]=EALij⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢l2lmnl−l2−lm−nllmm2mn−lm−m2−mnnlmnn2−nl−mn−n2−l2−lm−nll2lmnl−lm−m2−mnlmm2mn−nl−mn−n2nlmnn2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥t[kσ]=tPLij⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢100−1000100−1000100−1−1001000−1001000−1001⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ (3)t[ke]=EALij[l2lmnl-l2-lm-nllmm2mn-lm-m2-mnnlmnn2-nl-mn-n2-l2-lm-nll2lmnl-lm-m2-mnlmm2mn-nl-mn-n2nlmnn2]t[kσ]=tΡLij[100-1000100-1000100-1-1001000-1001000-1001](3)

式中,E为索元弹性模量;A为横截面积;tP为索内力。

[qe]=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢q00−q000q00−q000q00−q−q00q000−q00q000−q00q⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥t{Fe}=tP⋅{−l −m −n l m n}T (4)[qe]=[q00-q000q00-q000q00-q-q00q000-q00q000-q00q]t{Fe}=tΡ⋅{-l-m-nlmn}Τ(4)

式中,q为膜线单元的单元力密度值。找形阶段外荷载Re包括了飞杆与拉索的重量,数值较小,可不考虑,则取Re=0,此时式(2)可简化为:

图2为一简单伞形膜结构的平面网格划分。结构四边固定,节点1～4为固定点,节点89、134为飞杆两端节点(括号中数字为节点初始坐标值)。飞杆节点134由4根拉索拉住,拉索另一端连接于固定节点1～4。缆索弹性模量为2×105 MPa,截面积为1.77×10-4 m2,飞杆截面积为1.2×10-3 m2。

经单元划分及节点编号后,结构总共有218个膜线单元,5个弹性杆单元(包括4个下拉索和1个飞杆);节点总数为134个,其中自由节点94个,固定节点40个。采用式(5)进行找形分析,图3即为经纬向应力比为2∶3的找形图。

众所周知,在力密度法找形当中,伞形膜的形状主要与膜结构经纬向应力比有关,纬向应力越大,膜结构造型越修长,即锥顶越尖[5]。对于带飞杆的伞形膜也不例外,在这里重点讨论的是,这种结构的初始经纬向应力、拉索预应力等参数的不同取值对膜尖位置即飞杆空间位置的影响。

表1和表2分别列出了下拉索初始预拉力s0与膜结构的初始经纬向应力比采用不同的数值时,飞杆两端节点在坐标z方向的坐标值与弹性杆的受力情况。

从表1可见,当膜的初始纬向应力保持不变(3 kN/m),经向应力增大时,飞杆两端节点的标高降低,即飞杆位置下移;当初始经向应力保持不变(1 kN/m),纬向应力增大时,飞杆两端的标高保持不变。另一方面,随着下拉索的初始预张力增大,飞杆两端的标高也提高,即飞杆位置升高。这表明飞杆的空间位置主要与初始的经向应力以及下拉索的初始预张力大小有关。因此在进行理论计算时可以通过试算,找出膜的经向应力与拉索预张力的合理初值,使得找形后飞杆端点的标高比较接近于初始设定值。同时注意到,对于带飞杆的膜结构力密度法找形,当初始的经纬向应力比相同,如表1中的1∶1与3∶3,得到的初始平衡形状却并不相同,这与采用一般的线性力密度法找形的结果是不同的。

从表2可见,当膜的初始纬向应力保持不变(3 kN/m),经向应力增大时,平衡时拉索与飞杆的轴力也大致呈线性递增的趋势;而当初始经向应力保持不变(1 kN/m),纬向应力增大时,则拉索取不同的初始预拉力,达到平衡时拉索与飞杆的轴力差别很小。另一方面,保持初始经纬向应力比不变,增大下拉索的初始预张力,平衡后拉索与飞杆的轴力的差别也很小。这表明结构平衡时拉索与飞杆的轴力大小与下拉索的初始预张力值的关系不大,而主要与膜的经向应力有关。这是因为下拉索与飞杆下端的连接点实际是一个弹性支座,该支座在找形过程中发生了位移会使索力产生松弛,下拉索的实际预应力大小是由平衡方程决定而非初始预张力的大小决定。在某些实际工程中,并不专门对下拉索施加预张力,下拉索的索力通过张拉膜或者张拉边索得到。膜的实际应力大小、飞杆与下拉索的轴力大小,由最终的平衡方程决定。因此由以上分析也可以看出,飞杆在空间所产生的位置变化主要是以刚体运动为主,杆件本身的应变很小。

用力密度法分析了带飞杆的伞形膜结构的找形问题,通过算例讨论了设计时膜结构初始经纬向应力、下拉索初始预张力等参数的取值对结构的影响,有助于进一步了解这一特定的结构形式。