充气膜结构是以柔性膜材在某种有压差的气体(通常为空气)作用下,形成的一种具有稳定形态及一定刚度的结构形式。充气膜结构通常分为气承式膜结构(air-supported membrane structures)和气胀式膜结构(air-inflated membrane structures)。气承式膜结构通过压力控制系统向建筑物室内充气,使室内外保持一定的压力差,膜体产生一定的预张力从而保证体系的刚度。气胀式膜结构是向单个膜构件(通常为管状构件)内充气,使其保持足够的内压,由多个膜构件进行组合形成一定形状的整体结构。

充气膜结构在民用和航天领域都有广泛的运用,日本已建成了东京穹顶和熊本公园穹顶等多个结构,到1984年美国就已建造了8个大中型充气式体育馆,近年来我国也建成了一些,作为游泳馆和临时性的展览馆。充气膜结构也引起了很多学者的研究兴趣,文献[2,3,4]给出了充气膜较详细的有限元分析方法,文献[5]回顾了充气膜结构的历史,给出了典型的充气结构图片。

随着2008奥运国家游泳中心中标方案——“水立方”的固护体系采用充气膜结构形式,充气膜在我国将更广泛地被运用到工程实践中。

膜结构结构发展最初以充气膜为主,后来张拉膜结构显示出强劲的发展势头,和充气膜相比,工程运用要广泛得多。充气膜和张拉膜具有共同的优点,可在结构构造、初始形态分析、荷载分析、日常使用和维护等方面各有特点。表1中列举了两种结构形式的不同之处。

求得的相应曲面几何形态,就是初始形态分析所得到的最终几何形态。

从平面状态到最终的几何形状膜材要在内压的作用下发生位移,结构势必要发生很大的变形,体现出很强的几何非线性。通常都采用非线性有限元的增量法来进行非线性分析,本文采用UL格式,所有变量以时间t位形作为参考位形。

充气膜结构中,膜采用常应变平面三角形单元,索采用两节点直线单元。索只考虑其轴力,位移可以很大,并且是空间的,索和膜之间无相对位移。为了描述单元运动,需建立位移模式,即单元内任一点位移与节点位移间的关系

和张拉膜相比,充气膜有很高的密闭性要求。首先选择高质量膜材,膜材尽量避免漏气。充气膜对膜片接缝质量要求很高,不可出现局部漏焊。在结构设计中应避免使用有孔洞的部件,并需采用特定的出入口形式。出入口在关闭时应尽可能不漏气,而当人或物资通过时漏气越少越好,气承式膜结构在这方面要求比气胀式膜结构略低。在结构设计和施工时,必须充分重视上述方面以保证能正常工作。

充气膜结构的计算包括形态分析、荷载分析和裁剪分析,它们构成了结构分析的全过程。形态分析是分析的第一步,对于给定的结构进行形态分析必须首先在合理的内压范围内选取内压,并相应地设定膜、索的初应力。结构从平面状态起步,内压分步逐级施加,结构进行平衡迭代求解。当内压达到所给定的数值时,根据平衡条件其中为局部坐标下的插值函数,uk为局部坐标下t时刻单元节点位移增量,n为单元节点数。

考虑几何非线性,在应变和位移的关系中计及二次项[1]:

材料均为线弹性材料,应力应变关系为:

式中σ0为预应力,D为材料本构矩阵。

由虚功原理和变分原理得,在t+Δt时刻局部坐标系下膜单元的平衡方程为:

其中:结构线性应变增量刚度矩阵:

结构非线性应变增量刚度矩阵:

t+ΔtR荷载列向量,初始形态分析只为内压,荷载分析包括内压和其他荷载。

:t时刻单元应力的等效节点力向量。

式中分别为线性应变eij、非线性应变ηij和位移间的关系矩阵。

如前所述,充气膜没有气压差,结构本身并不稳定。充气膜找形过程是寻找压差、预应力和形态三者间对应关系的过程,是结构中的预应力寻求自平衡态的过程,其实质是一个静力平衡过程,根据力学原理,静力平衡的求解是不牵扯到材料属性的。故找形时需置材料的弹性矩阵为零,tD=0。

初始形态分析后进行结构的荷载分析,荷载分析考察结构在各种可能的荷载作用下的工作性能以及结构是否能满足正常使用要求。主要考虑的荷载为风荷载和雪荷载,在具体的计算过程中荷载值要根据荷载规范进行确定。为避免计算发散,荷载也需分级加载,将荷载分成许多小的荷载增量步,求解每个增量步的节点位移和新的平衡形态。

荷载列向量的生成:膜面在荷载作用下,产生较大的变形,其上的风雪荷载随着膜面形状的改变而改变,在t+Δt时刻,在单元微面积t+Δtds上的压力荷载为:

对于等厚、均质三节点平面单元，自重：在整体坐标下的荷载列向量为：

其中分别为单元面积，厚度，及密度。风载，气压差：均布荷载，垂直于膜面，在整体坐标下的荷载列向量为：

其中,p为单位面积上的风载或气压差,、，、,吣分别为单元平面法线矢量在整体坐标下沿坐标轴的分量。

雪载:均布荷载，沿整体坐标Z向，在整体坐标下的荷载列向量为:

其中为tA在xy平面上的投影,sz为单位投影面积上的雪载。

在局部坐标下求得每个单元的平衡方程后,进行坐标转化和整体叠加,得到整个结构的整体坐标下的平衡方程:

采用Newton-Raphson法求解上述得到的非线性方程组,计算收敛准则采用不平衡力准则。计算收敛后得到的形态即为外荷载作用下的平衡形态。

在非线性有限元分析的基础上建立充气膜结构的形状优化模型,模型包括:优化变量、目标函数、约束条件:

约束条件:

变量上、下限约束

挠度约束

强度约束

式中,Cost为总造价;K1为膜材每平方米价格;K2为索材每立方米价格;K3为增加每单位内压所需费用,气承式和气胀式膜结构因内压不同,所需费用也不同;Δi为膜单元在初始平衡态的面积;Lj为索单元在初始平衡态的长度;Aj为索单元的截面积;P为内压;σ0i为膜单元的初始预应力;T0i为索单元的初始预拉力;为节点受荷后的位移;分别为膜、索单元在受荷后的应力。下标i,j,k分别为膜单元,索单元,节点编号。

本文采用的是不用梯度的复形法,复形法只要求计算目标函数和约束条件,而不必计算它们的导数。形状优化基本步骤:

(1)根据边界条件选择较为合理的初始形状,在优化变量上、下限约束内选择变量值,作为初始设计方案;

(2)进行形态分析,得到初始平衡曲面;

(3)将各种荷载作用在初始平衡态曲面上,利用非线性有限元分析,对结构进行荷载分析;

(4)检查结构在荷载作用下是否满足挠度约束和强度约束;

(5)利用优化目标函数比较设计方案的优劣;

(6)若方案不满足,根据优化方法调整优化变量,改进设计方案;

(7)重复以上过程,直至优化准则和约束条件都满足。

内压是充气膜结构设计中重要的设计参数,也是充气膜和张拉膜的区别所在。充气膜由内压引起膜面变形,产生膜面应力,没有内压结构本身并不稳定。在充气膜结构中,内压应看作是抵抗外载作用的一个系统,内压对结构承受荷载及使用是必须的。内压的大小取决于膜的几何形状、荷载和容许变形值,保证结构不在气流中飘动,防止产生褶皱。充气膜在正常使用时,由于要考虑到人员出入,选用的内压较小,但同时充气膜为了抵抗雪载风载内压较大,因此须在充气膜中设置一过渡部分,作为较大内压和较小内压的过渡。文献[6]给出了充气膜结构在正常使用和各种不利荷载情况下的内压范围。

气承式充气膜结构边界条件是直径为5 m的圆形固定边界,薄膜弹性模量为Ex=Ey=0.8E9N/m2,泊松比为μ=0.4,厚度为h=0.48mm,试形态为平面如图1,分级加载内压至P=330 Pa,设定由内压产生的膜面应力为σ=2.0E6 N/m2。迭代过程中,材料弹性模量取Ex=Ey=0,初始平面形态见图2,顶点Z向位移为0.5668 m,和相同顶点的球壳、抛物面比较,沿径向见图3。

将形态分析得到的结果和相同顶点相同边界的球壳、抛物面比较见图3,图中X轴和Z轴单位都是米。可以发现分析结果介于球壳和抛物面之间,对于民用结构来说这个误差是可以忽略的,而对于高精度的抛物面天线来说,需采取措施使充气后的形面逼近理论的抛物面。

在顶点处作用集中力F,内压保持P=330Pa不变,分别取F=100,200,300N进行荷载分析,材料弹性模量取实际值。对应的膜面最大位移发生在顶点处,分别为0.047,0.08,0.113 m,当F=200N时,膜面变化见图4:图中淡线表示变形前的曲面,粗线表示变形后的曲面。

由分析结果可见,在集中力作用下,顶点处的曲面下凹,变成负高斯曲率曲面,面内径向应力变大,环向应力变小,边界附近的曲面上凸,高斯曲率变小,面内应力变化不大。

F=300N作用下,膜面顶点位移很大,为了保证结构的正常使用,需优化结构设计。本文仅通过优化内压来调整最大位移,每次调整内压都必须重新进行形态分析,在分析得到的形态结果上进行荷载分析,当内压增大到P=380 Pa时,形态分析得到的曲面为图5中1所指,图中2所指为P=330 Pa时的形态分析得到的曲面。以曲面2为基准,曲面1在F=300N作用下,顶点的相对位移为0.011 m。

图6所示为膜面在雪载为300N/m2下的变形,顶点下降0.013 m,分析结果表明,膜面应力值降低较大,高斯曲率减小,但变化幅度不是很大。

本文采用非线性有限元法进行充气膜结构的形态分析和荷载分析,在形态分析中将内压等效为节点力,内压和索和膜内应力最终达到平衡状态。并在此基础上建立了此类结构的优化数学模型,以工程造价为目标函数,以膜单元预应力,索单元预张力,索截面及结构内压为优化变量,进行结构优化设计。通过算例表明,形态荷载分析和优化设计方法是可行的。

由于充气膜结构作为地面民用结构还有很多技术难题有待我们去解决,如运行维护费用高,室内压力造成人体不舒适,在雨雪荷载作用下有明显的“袋状效应”等,这些问题限制了此类结构的广泛运用,如果能够很好地解决这些技术难题,充气膜结构必将呈现出更大的魅力。