极小曲面是微分几何领域中的一类重要的特殊曲面. 由于其优美的几何性质和力学性质, 极小曲面在建筑、航空、轮船制造及生物医学等领域有重要百富策略白菜网. 因此, 将极小曲面引入CAD造型系统, 是一项具有重要意义的工作. 金文标等[1]研究了Enneper曲面在CAGD中的百富策略白菜网. 满家巨等[2,3]和覃廉等[4]运用数值方法进行极小曲面造型. Monterde[5]和Arnal等[6]利用Dirichlet函数最小化的方法, 分别用矩形域上的张量积Bézier曲面和三角域上的B-B曲面来近似表示极小曲面. Monterde等[7]和徐岗等[8]考虑用调和曲面来近似表示极小曲面, 分别给出了矩形域上和三角域上的调和Bézier曲面的构造方法. Xu等[9] 研究了一类负高斯曲率Bézier曲面的造型算法. Xu等[10]、Zhang等[11]和Pottmann等[12] 研究了离散极小曲面的造型方法及其在建筑设计中的百富策略白菜网. 满家巨等[13]和Xu等[14,15] 分别给出了几类特殊极小曲面的控制网格表示, 从而为将这些极小曲面引入CAD系统提供了一个有力工具.

当今CAD系统中曲线曲面常以多项式参数形式表示. 但在微分几何理论中, 多项式参数极小曲面非常少见. 由经典的微分几何知识可知, 除了平面外, 不存在其他类型的二次参数多项式极小曲面; Enneper曲面是唯一的一类三次参数多项式极小曲面. 满家巨等[16] 提出了一类四次参数多项式极小曲面. 本文给出了一类新的带两个形状参数的五次参数多项式极小曲面, 研究了该曲面的性质, 并分析了形状参数对曲面形状的影响. 为突出它的百富策略白菜网价值, 本文利用该类极小曲面给出了张拉膜结构设计实例.

本节将给出本文需要利用的一些微分几何基本知识.

给定三维空间R3中的参数曲面

r(u,v)={x(u,v), y(u,v),z(u,z)}, u∈(−∞,+∞), v∈(−∞,+∞) (1)r(u,v)={x(u,v),y(u,v),z(u,z)},u∈(-∞,+∞),v∈(-∞,+∞)(1)

它的第一基本形式为E=ru·ru, F=ru·rv, G=rv·rv, 第二基本形式为L= (ru, rv, ruu) , M= (ru, rv, ruv) , N= (ru, rv, rvv) , 其中“·”表示点积, (, , ) 表示混合积. r (u, v) 的平均曲率H和高斯曲率K分别为

H=EN−2FM+LGEG−F2√‚ K=LN−M2EG−F2 (2)Η=EΝ-2FΜ+LGEG-F2‚Κ=LΝ-Μ2EG-F2(2)

定义1 如果参数曲面r (u, v) 满足E=G, F=0, 则称r (u, v) 为等温参数曲面.

定义2 如果参数曲面r (u, v) 满足ruu+rvv=0, 则称r (u, v) 为调和曲面.

定义3 如果参数曲面r (u, v) 的平均曲率满足H=0, 则称r (u, v) 为极小曲面.

引理1 等温参数曲面r (u, v) 为极小曲面的充要条件是曲面r (u, v) 为调和曲面.

其证明见文献[16].

定理1 设曲面r (u, v) 具有如下的参数形式

r(u,v)=⎛⎝⎜x(u,v)y(u,v)z(u,z)⎞⎠⎟ (3)r(u,v)=(x(u,v)y(u,v)z(u,z))(3)

其中:

x(u,v)=−(u5−10u3v2+5uv4)+α(u2−3v2)u−β(v2−3u2)v；y(u,v)=−(v5−10v3u2+5vu4)+β(u2−3v2)u+α(v2−3u2)v；z(u,v)=1430(α2+β2−−−−−−√+α)−−−−−−−−−−−−−−−√(u4−6u2v2+v4)−30(α2+β2−−−−−−√−α)−−−−−−−−−−−−−−−√(u2−v2)uv.x(u,v)=-(u5-10u3v2+5uv4)+α(u2-3v2)u-β(v2-3u2)v；y(u,v)=-(v5-10v3u2+5vu4)+β(u2-3v2)u+α(v2-3u2)v；z(u,v)=1430(α2+β2+α)(u4-6u2v2+v4)-30(α2+β2-α)(u2-v2)uv.

则曲面r (u, v) 既为等温参数曲面又为调和曲面, 即曲面r (u, v) 为极小曲面.

证明: 经计算可得

xu(u,v)=−5(u4−6u2v2+v4)+3α(u2−v2)+6βuv (4)yu(u,v)=−20uv(u2−v2)+3β(u2−v2)−6αuv (5)zu(u,v)=30(α2+β2−−−−−−√+α)−−−−−−−−−−−−−−−√(u2−3v2)−30(α2+β2−−−−−−√−α)−−−−−−−−−−−−−−−√(3u2−v2)v (6)xv(u,v)=−20uv(v2−u2)−6αuv−3β(v2−u2) (7)yv(u,v)=−5(v4−6v2u2+u4)−6βuv+3α(v2−u2) (8)zv(u,v)=30(α2+β2−−−−−−√+α)−−−−−−−−−−−−−−−√(−3u3+v2)v−30(α2+β2−−−−−−√−α)−−−−−−−−−−−−−−−√(u2−3v2)u (9)xuu(u,v)=−20u(u2−3v2)+6αu+6βv (10)yuu(u,v)=−20v(3u2−v2)+6βu−6αv (11)zuu(u,v)=330(α2+β2−−−−−−√+α)−−−−−−−−−−−−−−−√(u2−v2)−630(α2+β2−−−−−−√−α)−−−−−−−−−−−−−−−√uv (12)xvv(u,v)=20u(u2−3v2)−6αu−6βv (13)yvv(u,v)=20v(3u2−v2)−6βu+6αv (14)zvv(u,v)=−330(α2+β2−−−−−−√+α)−−−−−−−−−−−−−−−√(u2−v2)+630(α2+β2−−−−−−√−α)−−−−−−−−−−−−−−−√uv (15)xu(u,v)=-5(u4-6u2v2+v4)+3α(u2-v2)+6βuv(4)yu(u,v)=-20uv(u2-v2)+3β(u2-v2)-6αuv(5)zu(u,v)=30(α2+β2+α)(u2-3v2)-30(α2+β2-α)(3u2-v2)v(6)xv(u,v)=-20uv(v2-u2)-6αuv-3β(v2-u2)(7)yv(u,v)=-5(v4-6v2u2+u4)-6βuv+3α(v2-u2)(8)zv(u,v)=30(α2+β2+α)(-3u3+v2)v-30(α2+β2-α)(u2-3v2)u(9)xuu(u,v)=-20u(u2-3v2)+6αu+6βv(10)yuu(u,v)=-20v(3u2-v2)+6βu-6αv(11)zuu(u,v)=330(α2+β2+α)(u2-v2)-630(α2+β2-α)uv(12)xvv(u,v)=20u(u2-3v2)-6αu-6βv(13)yvv(u,v)=20v(3u2-v2)-6βu+6αv(14)zvv(u,v)=-330(α2+β2+α)(u2-v2)+630(α2+β2-α)uv(15)

因此, ruu+rvv=0, 即曲面r (u, v) 为调和曲面. 通过计算我们还可得到E=G, F=0, 即r (u, v) 为等温参数曲面. 由引理1知, 曲面r (u, v) 为极小曲面.

图1给出了该类极小曲面的两个例子, 可以发现它们具有优美的形状. 本文中所有曲面例子的参数范围均为u∈[-4, 4], v∈[-4, 4]. 实际上, 当β=0时, 该类极小曲面具有良好的对称性质.

定理2 当β=0时, 极小曲面r (u, v) 分别关于平面x=0、平面y=0、平面x=y和平面x=-y对称 (图2) .

由图2可以看出, 该类极小曲面的自交点均位于4个对称平面上, 除此之外, 无其它自交点.

本文所给出的极小曲面含有两个形状参数, 因而大大增加了造型的自由度. 为了更有效地利用此类极小曲面进行几何造型, 我们需要分析两个形状参数对曲面形状的影响.

图2 给出了当β=0时, 形状参数α的影响作用, 其中图2 (b) 为图2 (a) 的侧视图. 此时, 该类极小曲面的高斯曲率为

K=−60α(u2+v2)2Κ=-60α(u2+v2)2

显然, 当α越大, 高斯曲率的绝对值越大, 曲面的可展性越差.当α趋近于零时, 曲面趋近于平面.特别地, 除u=v=0的点为抛物点外, 曲面上的点都为双曲点.

图3给出了当α=0时, 形状参数β的影响作用, 其中图3 (b) 为图3 (a) 的侧视图. 此时, 该类极小曲面的高斯曲率为

K=−60β(u2+v2)6(5u2+5v2−3β)4E2Κ=-60β(u2+v2)6(5u2+5v2-3β)4E2

式中, E=25 (u4-v4) 2+ (100u2v2+9β2) (u2+v2) 2+30β (u6+v6) 2+90βu2v2 (u+v) 2-360βuv (u2-v2) 2.特别地, 除u2+v2=3β/5的点为抛物点外, 曲面上的点均为双曲点.

本文所给出的极小曲面可以表示成为CAD系统中常用的张量积Bézier曲面形式. 即

r(u,v)=∑i=05∑j=05B5i(u)B5j(v)Pij, u∈[0‚1]‚ v∈[0‚1]r(u,v)=∑i=05∑j=05Bi5(u)Bj5(v)Ρij,u∈[0‚1]‚v∈[0‚1]

式中, B5ii5 (u) , B5jj5 (v) 为五次Bernstein 基函数, Pij= (Xij, Yij, Zij) .

图4分别给出了α=100, β=0和α=0, β=4时的两个例子. 为了衡量曲面质量, 图4 (b) — (f) 中分别给出了曲面的高光线和反射线分布. 显然, 我们也可将该类极小曲面表示成三角域上的B-B曲面形式. 图5给出了与图4相对应的两个例子.

张拉膜结构以其新颖独特的建筑造型, 良好的受力特性, 成为大跨度空间结构的主要形式之一. “找形”是膜结构设计中的首要步骤, 而极小曲面又是张拉膜结构最理想的初始状态, 因此, 可利用本文所提出的极小曲面来完成膜结构设计中“找形”阶段的工作.

图6 给出了一个利用本文极小曲面设计的张拉膜结构的例子.

挖掘适合于现今CAD系统的极小曲面, 对极小曲面在几何造型中的百富策略白菜网有着重要意义. 本文给出了一类新的五次等温参数多项式极小曲面, 它带有两个形状参数, 并具有良好的对称性. 它可以表示为张量积Bézier曲面和三角域上的B-B曲面形式. 文中所给出的实例表明, 该类极小曲面非常适用于张拉膜结构设计.

经过“找形分析”而形成的膜结构通常为三维不可展空间曲面, 如何通过二维材料的裁剪, 张拉形成所需要的三维空间曲面, 是整个膜结构工程中最关键的一个问题.因此, 研究该类极小曲面的裁剪和展开算法, 是我们下一步需要解决的课题.