索膜结构的材料不能抗压抗弯, 结构在无应力状态时是一种不稳定的结构, 所以其分析和设计与一般结构不同, 在分析设计阶段一般可分为找形分析、荷载分析和裁剪分析。找形分析是索膜结构分析与设计的首要环节, 是后续分析的前提, 其分析的主要方法有:力密度法 (Force Density Method) 、动力松弛法 (Dynamic Relaxation Method) 和非线性有限元法 (Nonlinear Displacement Analysis Method) 。本文是采用非线性有限元法并结合有限元分析软件来进行索膜结构的找形分析的。

Haug和Powell, 在1971年提出了基于NewtonRaphson的非线性迭代的索网结构找形方法, 即从一个初始几何形态开始, 通过改变索的预应力或者索段的原始长度并经过迭代得到相应的形状。此后J.H.Argyris等人在1974年提出从一种平面状态开始找形的方法, 通过改变控制点的坐标并经平衡迭代得到相应的平衡状态。如今非线性有限元法成为百富策略白菜网最为广泛的索膜结构找形的方法。

非线性有限元找形的具体方法是给定边界条件和一定的预应力, 确定等应力最小曲面或平衡曲面。具体分析时首先将膜结构离散化为由节点和三角形单元构成的空间曲面结构, 给面单元一个经验的预应力, 以t时刻节点位移增量列向量为未知量, 得到一个几何非线性节点平衡方程为:

式中的为线性刚度矩阵, 为非线性刚度矩阵, 为节点位移向量, 为外荷载向量, 为节点等效荷载向量。

为了保证最终得到预应力分布为初始假定的预张力, 常常不计变形协调条件和本构关系的影响, 使最小曲面形状和膜的材料特性无关, 变为纯力学平衡问题, 因此膜结构找形一般基于以下假定:

(1) 把膜结构假想成理想的材料, 其变形不会带来应力的改变, 即取杨氏模量或。

(2) 找形分析中忽略材料自重和外荷载的影响。

根据假定 (1) 可以得出线性刚度在找形过程中不起作用, 即可不计物理方程的影响, 结构刚度仅仅由非线性刚度组成;从假定 (2) 可以得出, 所以式 (1) 可列为:

但是从编程方便、计算收敛速度考虑, 一般采用小弹性模量法, 在找形分析中将膜的弹性模量乘以一个较小的折减系数, 相应的切线刚度矩阵为:

(3) 式中α为弹性模量折减系数:

一般取1×10-2~1×10-6。

然后引入边界条件, 用高斯消去法求出位移增量, 按照法将各节点的位移增量叠加到原位形上得到新的位形, 并以此作为新的参考位形计算新的结构变位, 在满足给定的收敛准则条件下, 这样逐步迭代最终逼近结构成型的几何位置。

Strand7是具有强大的计算功能的大型有限元程序系统, 具有三维膜单元、悬索单元等各种柔性单元。Strand7API模块是实现Strand7二次开发的重要工具, 是百富策略白菜网程序与Strand7之间的功能接口。它允许使用者“借用”Strand7的功能对各种复杂分析进行规划设计, 编制更符合实际需求的有限元程序。本文采用Visual Fortran来调用Strand7的API, 并编制了相应的程序进行索膜结构的找形分析。

根据上述理论用Strand7和Strand7API找形可以执行以下步骤实现:

旋链面是旋转面中唯一有理论解的极小曲面, 其曲面方程为:

本算例的计算模型高度h=22.9243m, 上边界是以点 (0, 0, 22.924m) 为圆心, 半径为10m的圆, 下边界是以点 (0, 0, 0) 为圆心, 半径是50m的圆, 以此两圆为固定边界, 进行找形, 施加膜面预张力为3.5KN/m, 膜材厚度为1mm。取膜面应力均匀度为99.5% (取值较高, 一般取膜面应力均匀度为90%~95%) , 实体建模后, 调API进入循环计算, 经Strand7API循环43次后得到所要结果, 找形后的三维图和立面图如图2和图3。

菱形双曲面对角线距离为10m, 高度为4m, 找形后的平面和立面如图4、图5所示。结构的材料参数为:膜面的初始预张力=2kN/m, 边界4个角点固定, 四条边为柔性索边界, 边索的初始预应力为3 0 k N, EA=3×104kN, 索的截面积为0.0002m2。设定膜面应力均匀度为99.91%, 经53次循环得到所要结果。

佛山体育中心“世纪莲花”体育场屋面结构为一种源自车轮轮辐概念的全张拉式结构。该结构由周边强大的上下受压环和一系列的径向谷索、脊索以及内部受拉环索组合而成, 而谷索和脊索之间通过细小的悬挂索和PVC薄膜连接。整个结构的跨度为311m, 三维结构示意图如6所示, 在找形之前设置膜面预应力为3.5MPa, 膜的小模量和大模量分别为1E-4MPa和1000Mpa。

在索内施加合适的预应力后, 进行了4次找形计算, 找形后的计算结果如图7所示, 此时膜面第一主应力均匀度为99.91%, 第二主应力均匀度为99.77%, 最大竖向位移为7mm (为跨度的0.002%) , 已经形成一个非常稳定的结构形态, 找形后的膜面为等应力最小曲面。

本文使用大型通用有限元软件Strand7和其开发程序Strand7API对两个典型索膜膜结构和一个大型索膜体育场进行了找形分析, 找形结果和几何解析解以及专业的膜结构找形软件对比, 发现基于Strand7为平台的膜结构找形是完全可行的。运用Strand7API进行编程处理, 大大简化了找形过程中需要重复迭代的手工工作, 并且可以达到较高的膜面应力均匀度, 可以较好的满足索膜结构工程设计和理论分析的需要, 非常适合大型索膜工程的初始形态分析。