索膜结构是一种组合结构, 由柔性材料索和膜组成, 此类结构通过施加预张力使其形成一定的结构外形, 才能产生能够抵抗外荷载的结构刚度。因此, 索膜结构的形态分析是索膜结构设计中最关键的一步。

索膜结构形态分析的实质是寻找结构在给定预张力大小及分布、边界条件下的自平衡形态。目前, 形态分析方法主要有非线性有限元法、力密度法、动力松弛法。索膜结构平面外刚度很小, 在受力过程中具有小应变、大变位的特点, 而考虑几何非线性的有限元能很好的模拟这种情况, 故采用非线性有限元法进行分析具有很高的精度。

膜单元采用三节点三角形单元, 采用修正的拉格朗日格式, 得其几何方程为:

物理方程为:

式中:σ为单元应力向量;ε为单元应变向量;D为弹性矩阵。

其虚功方程可表示为:

式中:σx (0) 、σy (0) 、τxy (0) 为单元的初始应力向量;f (0) 为节点的初始力向量;f为节点力向量;de为节点位移向量。

对于二节点索单元, 其几何方程为

物理方程为:

式中:σ为节点应力向量;ε为节点应变向量;D为弹性矩阵。

其虚功方程为:

式中:σx (0) 为单元的初始应力;f (0) 为节点的初始力向量;f为节点力向量;de为节点位移向量。

将式 (1) 、 (2) 代入虚功方程 (3) , 将式 (4) 、 (5) 代入虚功方程 (6) 并整体集成可得

式中:KE为线弹性切线刚度矩阵;KG为几何非线性切线刚度矩阵;d为节点位移向量;F为节点力向量;R为初应力向量。

采用Newton-Raphson法进行数值求解即可。在求解过程中, 仅考虑结构的几何刚度 (由初始预张力产生的刚度) , 保持索和膜的应力值始终为初始预应力值。

上海世博轴如图1所示, 南北长1045m, 东西宽地下99.5m~110.5m, 地面以80m, 总建筑面积227169m2, 其中地上42877m2。由4层平台、索膜结构屋盖和6个阳光谷组成。其中索膜结构屋盖是整个结构中最核心的部分, 约840m长, 最大跨度约100m, 总面积约64000m2。组成索膜屋盖的基本单元体如图2所示, 该单元呈中央低四周高的漏斗形锥面, 由边索、脊索、悬索、中桅杆和膜面及支撑体系组成。

基于Visual C++语言编制可视化程序, 对此屋面进行找形分析, 划分网格并设定试探形状, 得到最终找形结果, 如图3所示。

本文基于修正的拉格朗日格式建立了索膜结构非线性有限元方程, 并世博轴张拉索膜结构进行了找形分析。在找形分析的基础上可对索膜结构进一步进行荷载分析和剪裁分析。