膜结构是一种以织物膜材和高强度钢丝缆索作为主要受力构件的张力结构形式.由于膜材和索本身不具有抗弯刚度, 因此必须依靠在曲面内施加预张力来维持结构形状并抵抗外荷载.膜结构的“形”是指结构几何形状, “态”是指与“形”相对应的应力分布状态, 在给定边界条件下, 这两者具有一一对应关系, 共同决定了膜结构的力学性能.如何确定结构的合理形态, 一直是膜结构研究中的关键问题.

对结构形态的研究可以概括为两个层面:第一个层面是初始形态确定, 即研究如何根据假定的“形”求“态”, 或者根据假定的“态”求“形”;第二个层面是形态优化, 即根据膜结构的工作特点, 提出结构工作性能的评价准则, 针对具体优化目标通过优化分析获得最优的初始形态.以往的研究主要针对第一层面, 而对第二层面的研究较少.这使得人们对膜结构形态的优劣缺乏评价标准, 只能根据经验进行设计, 导致设计效率偏低, 且所设计的结构常常不是最优结构, 而只是可行结构.

近年来, 各国学者对膜结构的形态优化问题进行了一些有益的探索.英国学者Gosling等[1]认为最小曲面为膜结构的最优形态;日本学者K. Uetani等[2]以结构刚度最大为目标对结构进行优化, 并引入设计参数敏感性分析.Sindel等 [3]提出两水准优化的思想:第一水准是以最接近预定形状为最优, 第二水准以刚度最大为最优.澳大利亚的Zhao等人[4]以自振频率为优化目标对平面膜片进行了形态优化.此外, 国内学者也在膜结构形态优化方面进行了有益的探索[5,6].总体来看, 膜结构形态优化研究尚处于起步阶段, 优化目标的选取及多个目标优化是其中的关键问题.

本文首先介绍了一些典型膜结构的建筑造型和力学特点, 探讨了膜结构概念设计的一些基本原则;然后提出了基于遗传算法的多目标形态优化方法, 并百富策略白菜网此方法对一些典型膜结构的形态特性进行分析, 给出了可用于结构概念设计的参数较优取值范围.

膜结构的形态是多种多样的, 但从几何构成来看绝大多数都是由鞍形、伞形、脊谷式等基本形状演变而来的.因此, 深入剖析这些典型结构形式的曲面构成和力学特点, 有助于增进对膜结构“形”与“态”的认识.

鞍形曲面是典型的互反曲面形式, 由四个不共面的角点和连接角点的边缘构件围合而成 (图1) .根据这四个角点的相对关系, 可以定义其中的两个对角点为高点 (HP) , 另两个为低点 (LP) .高点的作用是抵抗雪荷载, 而低点则有利于抵抗风吸力的影响.鞍形膜结构的边缘构件可以是混凝土梁或空间钢桁架, 即形成所谓的刚

性边界;也可采用边索通过施加预张力形成柔性边界.由于柔性边界可以较好地适应膜面变形, 避免膜面在安装和受荷过程中出现褶皱, 因此采用较多.矢跨比 (f/L) 是控制鞍形曲面形状的重要参数.矢跨比越大说明膜面曲率越大, 结构刚度越好, 通常矢跨比取1/8~1/12.鞍形膜结构的适用跨度较小, 一般多用于膜建筑小品中.

伞形膜结构实际上是负高斯曲面在极坐标系下的一种表现形式.这种结构形式的特点在于, 膜单元的周边相对位置较低, 多固定在刚性边梁或柔性边索上;在膜单元的中部设有一个 (或多个) 高点, 多通过独立柱、飞柱或悬吊环等支承形式来实现;整个膜面呈锥形 (图2) .为了避免在高点附近的膜材内部应力过大, 当膜单元跨度较大时, 通常会在高点和边界支承点之间设置脊索, 以改变结构内部的传力路径, 避免膜材出现应力集中.

脊谷式膜结构的特点在于高低相间, 呈波浪形.两高点之间布置相互平行的脊索, 两低点之间布置谷索, 脊索和谷索之间的膜面形成负高斯曲率曲面.当结构跨度较大或荷载较大时, 还可在脊索和谷索之间适当布置一些横向的加劲索.结构平面多呈矩形, 如图3所示.美国的丹佛国际机场和加拿大的Canada Place等都是典型的脊谷式建筑.

找形是膜结构形态设计的第一步.在这一过程中, 需要结构工程师综合考虑建筑平面、立面和下部支承条件等因素, 确定符合边界条件和力学平衡要求的建筑曲面形状.因此, 膜结构的设计打破了传统的“先建筑, 后结构”的设计方式, 而是要求建筑师和结构师在概念设计阶段便紧密结合在一起, 共同确定建筑物的外形.

膜结构找形是一个反复试算的过程, 其结果不仅要满足建筑造型的要求, 还要保证结构在设计荷载作用下不出现过大的变形和应力, 同时还要避免膜和索中因出现压应力而退出工作, 即保证结构的形状稳定.当找形结果不满足上述要求时, 一般可通过调整支承点的位置和预张力的大小来重新计算.

综合现有研究成果和工程经验, 找形的一般原则是:

(1) 合理确定支承点的位置, 以保证膜面具有较大的曲率.根据国外研究表明, 通常沿膜主曲率方向的弦长c和拱高f之比c/f宜小于20.

(2) 在条件许可的情况下, 宜优先选择柔性边缘构件和可移动支承方式 (如桅杆) , 以保证膜内应力尽可能均匀, 避免在荷载作用下膜材出现应力集中和褶皱现象.

(3) 对于比较重要的膜结构, 尚应在膜材之外布置适当数量的附加拉索对主要支承构件进行固定, 以保证结构不会因膜材的破损而出现倒塌.

(4) 支承结构的布置还要考虑具体的施工过程、二次张拉和膜材更换等问题.

(5) 单片膜的跨度不宜超过15m, 覆盖面积不宜超过400m2;如果超过此限值, 应适当增设加强索.

(6) 预张力的大小需要由设计荷载来确定, 基本原则是, 在设计荷载作用下保证结构内部具有维持曲面形状的拉应力值.预张力过小会导致结构在风荷载作用小出现较大的振动, 预张力过大又会给支承结构 (包括基础) 的设计和施工张拉过程带来困难.通常对于PVC膜材, 预张力水平为1~3kN/m;对于PTFE膜材, 预张力水平为2~6kN/m.

与大部分结构优化问题相似, 膜结构的形态优化具有如下特点: (1) 多优化目标.衡量一个结构优劣的指标是多方面的, 如刚度, 内力分布、造价等.在对膜结构的形态进行优化时, 不可顾此失彼, 宜设定多个优化目标, 以保证优化后的形态在各方面都是良好的. (2) 目标函数通常无法用显示表达, 无法找到可行域的具体形状和边界.由于这些特点, 传统的优化方法, 如线性规划法和非线性规划法都不再适用;而且由于优化目标并非为结构自重最轻这样的简单问题, 其最优解的膜和索也不会达到满应力状态, 所以准则法也不适用.在这种情况下, 遗传算法就成为较理想的方法.

遗传算法是模拟生物在自然环境下的遗传和进化过程而形成的一种自适应全局优化概率搜索法.该方法以决策变量的编码作为运算对象, 直接以目标函数值作为搜索信息, 通过由目标函数值变换得到的适应度函数值来确定进一步的搜索方向和搜索范围.遗传算法对所解的优化问题并没有太多数学要求, 可以处理任意形式的目标函数和约束, 适用于膜结构的形态分析问题.本文采用遗传算法编制了膜结构形态分析程序, 其中找形和荷载分析模块采用非线性有限元法.由于目前对遗传算法的研究已较为成熟, 这里不做详细介绍, 程序的有效性将在下文的算例中予以证明.

建立目标函数, 即提出对形态的评价准则, 回答“什么样的膜结构形态最好”这一问题.根据膜结构的特点, 并结合实际工程经验可知, 膜结构的力学评价准则应主要包括三个方面:刚度大;在受荷状态下内力分布均匀;对边缘构件的作用力小.以此作为评价形态优劣的准则并确定具体的函数或者物理量作为准则的度量指标, 得到目标函数如下.

由于膜结构是典型的空间结构体系, 且具有几何非线性特点, 因此其刚度衡量指标并不像高层、高耸结构那样明确 (高层、高耸结构一般以顶点位移来衡量刚度) .在以往的研究中, 用于衡量膜结构刚度的指标有多种, 如最大位移、平均位移、应变能等.

应变能是指结构因弹性变形而贮存的能量, 应变能越小就意味着变形越小, 即:

minfse=∫v(σT0Δε+12ΔσTΔε)dv (1)minfse=∫v(σ0ΤΔε+12ΔσΤΔε)dv(1)

式中, σ0为初始应力向量;Δσ, Δε为由荷载引起的应力、应变向量.

应变能力学概念清晰, 不仅反映了结构的整体变形, 而且包含了对受力路径的描述.而最大位移、平均位移只反映结构受力后的最终变形.也就是说, 对于非线性结构, 最大位移或平均位移较小的结构, 其应变能可能较大, 这取决于荷载-位移曲线的形状.

应力分布均匀程度采用各单元的应力方差与应力均值的比来衡量, 这里称之为应力波动系数, 应力波动系数越小则应力分布越均匀:

minfσ=D(σi)E(σi) (2)minfσ=D(σi)E(σi)(2)

其中E(σi)=1m∑i=1nσiE(σi)=1m∑i=1nσi;D(σi)=∑i=1m(σi−E(σi))2m−1−−−−−−−−−−√D(σi)=∑i=1m(σi-E(σi))2m-1

式中, σi为第i个单元的应力, m为单元总数.

在结构的多个支座中, 选取最大支反力作为目标函数:

minf=Fmax=(F2ix+F2iy+F2iz−−−−−−−−−−−−−√)max (3)minf=Fmax=(Fix2+Fiy2+Fiz2)max(3)

式中, Fix, Fiy, Fiz分别为第i个支座x, y, z方向的支座反力.

膜结构的形态优化属于典型的多目标优化问题, 其数学模型可描述为:

min[f1 (X) , f2 (X) , …fn (X) ]T

s.t.gj (X) ≤0 (j=1, 2, …J)

hk (X) =0 (k=1, 2, …K) (4)

即在一定的约束条件下, 使向量目标函数[f1 (X) , f2 (X) , …fn (X) ]T中的各个子目标函数都尽可能的小.但困难在于:在大多数情况下这些目标的数值不能直接进行优劣关系的比较;而且目标之间经常是相互冲突的, 在不降低一种目标的情况下不能任意提高其他目标的性能, 因而只能在各个目标之间取均衡后的结果.

目前, 对多目标问题的处理方法有多种, 如统一目标函数法、主要目标法、协调曲线法等等, 其中统一目标函数法概念直观、易于实现, 百富策略白菜网较多.该方法的基本思想是将各分目标依其数量级和在整体设计中的重要程度相应地给出一组加权因子, 将各分目标加权取和, 从而将多目标问题转化为单目标问题:

minf(X)=∑k=1nωkfk(X) (5)minf(X)=∑k=1nωkfk(X)(5)

式中, fk (X) 为各分目标函数;ωk为各分目标的加权因子, 一般地, ωk>0 (k=1, 2, …n) 且∑k=1nωk=1.∑k=1nωk=1.

值得说明的是, ωk实际上包括两部分的含义, 一部分是将各分目标无量纲化并统一其数量级 (这个过程称作正则化) , 另一部分是体现各分目标的重要程度.为便于理解, 可表示为如下形式:

ωk=G (ωakka, ωbkkb) (6)

式中, ωakka为重要性加权因子;ωbkkb为数量级统一因子.也就是说首先要通过ωbkkb对各目标函数进行正则化, 然后再根据重要程度进行加权, 否则各分目标间不具有可比性, 所谓“重要程度”也不具有实际意义.

综合考虑式 (6) , 可将式 (5) 进一步写为:

minf(X)=∑k=1nωakfˉk(X) (7)minf(X)=∑k=1nωkafˉk(X)(7)

式中, k (X) 为正则化后的目标函数.

在实践中发现, 对目标函数正则化恰当与否直接影响到优化结果正确性.不合理的正则化方法会无意中加强或弱化一些目标, 导致重要性加权因子无法准确体现目标函数的重要性大小, 优化结果偏离优化期望.较好的正则化方法是利用下面的公式将各分目标函数值都转换为0-1范围内的无量纲值:

fˉk=fk−βkαk−βk ,k=1,2,⋯n (8)fˉk=fk-βkαk-βk,k=1,2,⋯n(8)

式中, αk, βk为目标函数fk在整个优化区域内的最大值和最小值.但对于膜结构的优化, 目标函数的最大值和最小值一般都是未知的, 在这种情况下, 百富策略白菜网式 (8) 就需预先求出各优化目标的极值, 增加了计算量, 不便于实际百富策略白菜网.因此, 本文在计算过程中采用“目前为止群体中的最大值、最小值”α′k, β′k来代替αk, βk:

fˉk=fk−β′kα′k−β′k,k=1,2,⋯n (9)fˉk=fk-β′kα′k-β′k,k=1,2,⋯n(9)

α′k, β′k随着进化进行更新.算例表明, 这种正则化方法在群体保持适当的大小和多样性时, 所得优化解是可靠的.

在合理的正则化的基础上, 通过调整重要性加权因子即可得到各种性能均较优的结构.

鞍形膜结构有两个主要的结构设计参数, 高跨比λ及边索与膜的预张力密度比γ, 表达式如下:

λ=fL (10)λ=fL(10)

γ=T0St0lb (11)γ=Τ0St0lb(11)

式中, f和L分别为鞍形的矢高和对角线跨度;T0为边索预张力;lb为边索的跨度;St0为膜材的预张力.

建立鞍形膜结构的优化模型如下:

min[fene(λ,γ),fstress(λ,γ),freaction(λ,γ)]Ts.t.0.1≤λ≤0.51.0≤γ≤5.0 (12)min[fene(λ,γ),fstress(λ,γ),freaction(λ,γ)]Τs.t.0.1≤λ≤0.51.0≤γ≤5.0(12)

膜结构主要受自重、风荷载和雪荷载作用.本文选取荷载如下:自重为0.1kN/m2;雪荷载为满跨竖向均匀分布;选取最不利风向角, 即沿两低点连成的对角线方向进行优化分析, 不同矢跨比对应的风压系数均由CFD数值模拟获得.优化时只考虑两种工况作用:自重+雪荷载 (工况1) 和自重+风荷载 (工况2) .百富策略白菜网上述多目标优化方法, 综合考虑工况1和工况2, 可到优化结果见表1.

可以看出, 随着风压比例的增大, 最优矢跨比逐渐减小, 对应的索膜预张力密度则逐渐增大, 这主要是因为矢跨比较小时, 需要较强的索边界来提高结构的性能.当雪压比例大于80%时, 结构由雪压控制, 优化结果与只考虑雪压的情况相同.当风压所占比例大于70%之后, 结构由风荷载控制, 优化结果与只考虑风压的情况相同.在设计荷载确定之后, 设计人员可以根据雪荷载和风荷载的比值, 从表中查到结构参数的最优取值范围.

百富策略白菜网类似的方法, 可得到不同荷载比例下伞形膜结构和脊谷式膜结构的参数优化结果, 如表2和表3所示.

概念设计与形态优化是膜结构设计中的核心问题.本文针对膜结构的特点, 探讨了膜结构形态设计的一般原则, 提出了膜结构形态的多目标优化准则, 得到如下结论:

(1) 对于膜结构这种具有几何非线性的空间张力体系, 用于衡量刚度的指标不是唯一的, 不同的指标会得到不同的优化结果.其中应变能的力学概念最为清晰, 较好地体现了结构的刚度.

(2) 采用统一目标函数法对多目标问题进行处理概念明确, 易于操作, 通过设置重要性因子可得到各方面力学性能都良好的理想形态. (3) 通过对典型膜结构形式, 包括鞍形、伞形及脊谷式, 进行优化分析, 得到了结构参数的最优取值范围, 为工程设计提供了量化建议.