近年来, 大跨度张拉索膜结构在国内的百富策略白菜网越来越广泛。在此类建筑工程设计时, 为了达到覆盖大跨度空间的要求, 膜材通常与柔性拉索、杆和桁架梁等结合, 形成索、杆、梁与膜协同工作的复杂空间结构体系, 数值模型主要包括:膜、索、杆和梁四种单元。然而, 由于忽略的因素不同及信息缺失等问题, 几何非线性梁单元[1,2,3]的研究成果无法准确百富策略白菜网于本文的数值模拟。因此, 本文针对大跨度索膜结构中梁构件细长及非薄壁等特点, 忽略剪切变形和翘曲的影响, 介绍了梁单元的几何非线性方程。

大跨度索膜结构体系主要包括两部分:张拉索膜结构和支承结构。目前, 这种结构体系的研究通常是将张拉索膜结构与支承结构分开, 进行分离式分析:先将支承结构模拟为索膜结构的刚性支座或弹簧支座, 在形态分析或荷载分析后, 获得约束反力;反向施加到支承结构上, 求解支承结构的响应。曹国辉[2]和刘连华[4]对整体式分析进行了研究, 将索膜结构与支承结构一起建立数值模型, 支承结构参与索膜结构的形态分析和荷载分析, 认为现行的分离式分析不能准确地考虑位移协调关系, 忽略了二者的相互作用。然而, 这些研究仍存在两方面的问题:一方面, 初始形态分析时, 建筑师设计要求的膜面形状控制点无法满足要求;另一方面, 这些研究主要集中在小跨度或简单形状的工程上, 缺少对大跨度复杂形状的索膜结构进行的研究。

实际上, 考虑支承结构的大跨度索膜结构具有空间形状复杂、构件多及形状控制点多等特点, 建立数值模型耗时较长且计算不易收敛, 采用通用有限元软件 (例如, ANSYS) 设计与分析, 不仅建模效率较低, 而且涉及到索和膜单元预应力不变或者索、杆和梁单元几何形状不变以及膜材发生褶皱后如何处理等问题, 这些通用有限元软件很难或者无法处理。综上所述, 本文以芜湖体育场为研究背景, 提出利用定力单元、定形单元和微调单元建立数值模型, 编制软件进行分析与设计, 该软件基于AUTOCAD2002进行二次开发, 可以高效地利用设计院提供的设计图形建立有限元模型, 还可以处理特殊构件以符合实际工程设计要求。最后, 分析了芜湖体育场在长期荷载组合作用下的应力与变形。

在梁单元几何非线性问题上, 多采用UL (Updated Lagrange) 或者TL (Total Lagrange) 方法, Narayanan和Krishnamoorthy[5]通过研究发现UL法在实际计算中更为有效。因此, 本文将采用UL推导考虑几何非线性的梁单元刚度矩阵。

根据大跨度索膜结构体系中常用梁构件的受力和截面特性, 采用基本假设: (1) 单元为等截面和双轴对称; (2) 不考虑剪切变形和截面翘曲的影响; (3) 杆件材料处于弹性阶段; (4) 不考虑P -Δ效应。

等截面直线空间梁单元有两个节点, 每个节点有6个自由度。任取一个单元ei j, 它的两个节点分别为i和j。在单元上建立局部坐标系 (右手坐标系) , 并规定局部坐标系中的x轴正向为从i到j, 且位于梁的中性轴, 而Y轴和Z轴分别位于梁截面的两个主惯性轴。

中性轴上的位移场u axe s=[uvwθx]uaxes=[uvwθx], 按右手系选取如下位移插值模式:

单元节点位移和节点力如图1所示, 需要注意的是, 由于有限元法中的位移符号规定:线位移与坐标轴的正向一致时为正, 角位移以顺时针转动时为正, 故式 (1) 中由右手系所确定的θy i及θy j应该为负。将i和j的坐标代入式 (1) 可得

再由式 (2) 代入式 (3) 可得

另外, 梁单元截面任意一点位移场u可以用该截面与中性轴上相交处的位移场uaxe s表示为

将式 (4) 代入式 (5) 可得

式中 N为梁单元截面上任意一点位移场的形函数矩阵。

式中 Ni (i=1～16) 是形函数。

N1=1-ξ, N2=[-6y (-ξ+ξ2) ]/L

N3=[-6z (-ξ+ξ2) ]/L, N4= -z (-1+4ξ-3ξ2)

N5= -y (1-4ξ+3ξ2) , N6=ξ, N7= -z (2ξ-3ξ2)

N8= -y (-2ξ+3ξ2) , N9=1-3ξ2+2ξ3

N10= -z (1-ξ) , N11= (ξ-2ξ2+ξ3) L

N12= 3ξ2-2ξ3, N13= -z ξ, N14= (-ξ2+ξ3) L

N15=y (1-ξ) , N16=y ξ, ξ=x/L

式中 ξ为无量纲坐标, L为梁元长度。

不考虑翘曲和扭转角位移二次项的影响, 空间梁单元在外力作用下的轴向应变主要由两部分组成:一是拉压轴向应变, 二是弯曲轴向应变。对于一般的细长梁, 可以忽略由横向荷载引起的剪切应变的影响。但考虑由于扭转引起的剪切应变, 此时空间梁单元的应变增量矩阵可以写成如下形式。

ΔεxΔγxΔεxΔγx

该应变增量由线弹性应变增量与非线性应变增量组成, 即

=ΔεL+ΔεN L=BLΔue+12Δ A Δθ (7)=ΔεL+ΔεΝL=BLΔue+12ΔAΔθ(7)

式中Δ A=[∂Δu∂x∂Δv∂x∂Δw∂x]‚Δθ=Δ AT=GΔueΔA=[∂Δu∂x∂Δv∂x∂Δw∂x]‚Δθ=ΔAΤ=GΔue。

利用式 (5, 6) 可推导出BL和G, 此处表达式从略。

在UL坐标系中, 建立平衡方程:

式中 Kirchhoff应力S可以表示为时刻t的Euler应力σ与增量应力ΔS之和, 即S=σ +ΔS。经过推导可得

简写为

式中KˉˉˉˉΚˉLe是梁单元线性刚度矩阵, KˉˉˉˉΚˉNLe是梁单元非线性刚度矩阵, M是单元应力矩阵。本文利用Mathematics软件计算线性和非线性刚度矩阵, 限于篇幅, KˉˉˉˉΚˉLe和KˉˉˉˉΚˉNLe表达式从略。M和σx表达式为

根据设计施工资料, 芜湖体育场屋盖结构外形呈椭圆形, 南、北向长轴为252 m, 东、西向短轴为228 m, 结构关于短轴对称。东西看台挑蓬为脊谷式整体张拉膜结构, 均由20个几何尺寸不同的伞形单元组成, 外形呈高低错落有致的马鞍形。支承体系由主桁架拱, 斜撑桁架, 中心环索及斜拉索组成如图2所示, 一个伞形膜单元周围支承结构通过3个支座控制点与下部钢筋混凝土结构相连, 这种支座控制点一共88个;另外, 整体结构还有34个与地面相连的支座, 这些铰接支座构成了整个屋盖体系的边界条件。

利用本文的软件建立的芜湖体育场屋盖结构有限元模型如图3所示, 共使用了四种单元类型:3节点膜单元、2节点索单元、2节点杆单元和2节点梁单元。三维空间模型的具体情况见表1。

不考虑材料非线性, 膜材密度为1.5 kg/m2, 两方向预应力σx=σy=2.0 kN/m, 经向弹性模量E1=900 MPa, 纬向弹性模量E2=600 MPa, 剪切模量G=20 MPa, 泊松比分别为v12=0.4, v21=0.6, 钢索的密度均为7850 kg/m3, 弹性模量E=1.9×105MPa, 以预应力大小与截面面积区分不同种类钢索;杆和梁为圆钢管, 密度均为7850 kg/m3, 弹性模量E=2.1×105MPa, 其中, 以预应力大小与截面面积区分杆, 以截面几何特性区分梁。

通过分析发现, 芜湖体育场屋盖结构体系中主要存在三类特殊构件。

如图2所示, 膜和膜包裹的柔性索 (脊、谷索等) 在形态分析时, 要求预应力均匀, 可以形成光滑的膜曲面。因此, 利用定力单元来模拟。

如图2所示, 1～5点属于膜曲面形状控制点, 结构形状确定后, 这些点的空间位置也基本不变的。如果与这些空间点相连的构件都属于定力构件, 那就需要反复调整定力构件预应力来保持该点位置不变, 这对设计工作来说, 几乎是不可能完成的。这就要求与之相连的构件至少有一个不属于定力构件, 由这些非定力构件提供内力来达到平衡。上述与这些点相连的非定力构件就是本文提出的定形构件, 用定形单元来模拟。

值得注意的是, 如果与图2中1～5点相连的部分构件属于定力构件, 将会发生两种情况:一种是两个及两个以上其他构件与之相连, 1～4点属于这种情况, 例如4点处, 除后脊索、两个外边索和膜等定力构件外, 还有下拉杆和两个后撑杆, 此种情况下可以通过设置它们为定形构件进行求解;另一种是只有一个其他构件与之相连。如5点处, 除脊索、两个外脊索和膜等定力构件外, 仅有1个吊索, 这种情况下, 吊索的位置如果确定不变, 那其他定力构件的合力的方向必须与吊索内力方向相反;此时, 需要反复调整定力构件的预应力, 才能最终实现在5点的平衡。否则, 由于定力构件不合适的预应力, 求解后膜结构发生畸变如图4所示。所以, 本文将第二种情况下的这类构件定义为微调构件, 即允许其空间位置在一定范围内进行调整。

本文提出整体式形态分析思路:第一步, 建立整体数值模型, 梁单元采用正常弹模, 即找形又找力, 用材料弹性模量为小杨氏模量的定力单元模拟膜和包裹在膜中的索, 用正常弹性模量的定形单元模拟支承体系中的索和杆。分析过程中, 在当前计算步内, 定力单元内力 (应力) 不变, 定形单元的内力 (应力) 根据其产生的位移发生变化, 但在进入下一步计算前, 定力单元更新位移变形, 定形单元并不更新节点位移, 其位置不发生改变;第二步, 由第一步获得的形状和内力, 继续进行二次形态分析, 这一步不存在定形单元, 索膜结构预应力保持不变;采用小杨氏模量找形, 而所有支承结构的构件采用正常弹性模量既找形又找力。这一思路将在本文软件程序中一次执行完毕。

索膜结构初始形态是否合理, 主要从以下方面评价: (1) 满足既定几何形态的要求, 膜曲面平滑, 无过大变形; (2) 索和膜面的应力大小应适度。形态分析结果如图5和图6所示。从图5和图6可以看出, 形态分析结果较均匀且错落有致, 呈现明显伞状, 模曲面光滑无过大变形, 与建筑设计要求符合较好, 且反复调整预应力的次数较少, 工作效率较高。

另外, 因为结构跨度大, 索膜结构整体形态分析考虑了重力的影响, 图7是膜面纬向和经向的应力分布图。从图7可以看出, 膜面纬向应力范围1.2 MPa～2.8 MPa, 经向应力范围1 MPa～2.9 MPa, 大部分膜面的纬向和经向应力约2 MPa, 膜面没有出现褶皱。

薄膜结构整体式分析的研究较少, 目前的许多方法计算繁琐, 而且无法保证精度。文献[4]提出的方法较简单直接, 整体建立模型, 无需反复施加和释放约束。索膜结构采用小杨氏模量, 支承体系采用正常弹性模量且施加一定预应力, 进行同时找形找力分析。但支承体系的预应力施加很难适度, 形状控制点位置也不易满足建筑师的要求。

本文认为, 如果支承体系为梁构件, 那么结构支承体系在形态分析时仅需将材料弹性模量设置为正常值就基本能够保证不动边界的条件。但如本文的支承体系设计, 还包括以索和杆等柔性构件, 只靠经验预估预应力, 很难满足要求。这时, 采用本文提出的特殊构件处理方法, 完全通过数值计算来确定索杆的内力, 将很容易满足设计要求。因为柔性支承体系的刚度随其内力增大而增加, 当内力达到一定值时, 支承点基本不动的条件是可以实现的。

为了更好地说明本文方法的优势, 选取图8中具有代表性的6个空间点, 将本文方法和文献[4]方法所得空间位置进行对比。首先说明的是, 本文提供的原始建筑设计是实际工程设计数据, 由表2和表3的结果对比可知, 本文结果能更好地符合原始建筑设计要求, 尤其是5～6点, 文献[4]的方法所得结果与设计值相差1.5 m左右, 而本文结果与原始设计仅相差0.1 m左右。因此, 本文所提方法能更好地实现大跨度张拉薄膜结构整体式分析。

薄膜结构的荷载分析对其安全性具有重要的意义。因为它不仅校核结构中构件的应力是否超过设计应力, 变形是否在许可的范围内, 而且与形态分析息息相关, 校验形态分析结果是否满足使用要求。另外, 此类结构在荷载分析时, 可能出现索松弛和膜皱褶的现象, 使整个结构的刚度发生变化, 最终影响结构的受力性能。因此, 本文采用谭峰[7]的方法判断和处理索单元的松弛及膜单元的褶皱, 对芜湖体育场进行长期荷载组合下应力和变形分析。

长期荷载基本组合主要包括:自重、雪荷载和活荷载的较大值, 还有预张力。图9～图11为结构的索膜部分在荷载作用下, X、Y、Z方向位移云图。从图11可以看出, 空间高度Z方向的最大位移点处于体育场中部看台前沿, 达到1.5 m;但平面X和Y方向位移最大值仅为0.52 m和0.3 m (图9和图10) 。最大膜面位移扣除相关索的位移后约为0.5 m, 小于支点之间距离的1/18, 满足设计要求[8]。

芜湖体育场膜材采用A级膜材 (基材为聚酯纤维、涂层为聚氯乙烯PVC) , 经纬向抗拉强度分别约为166.5 kN/m和140 kN/m, 长期荷载组合下膜材的安全系数参考文献[9]取值为5.0, 所以该工程的膜材抗拉强度设计值为33.3 kN/m和28 kN/m。图13为膜面纬向和经向应力分布云图。可以看出, 膜面经向和纬向应力最大值约为26.1 kN/m和19.7 kN/m, 均小于抗拉强度设计值。

荷载分析时, 膜材发生褶皱, 褶皱单元约200个, 从图12可以看出, 膜面上褶皱单元主要分布在两个伞形单元之间的位置, 按照设计要求[8], 此时应力不符合相关规定。但这些区域变形后的角度基本都大于28°, 不易积雪。所以, 在本工程膜结构维护手册中, 应对排雪制定相应的应急处理措施, 及时清除积雪, 且注意防止屋面积雪结冰。

(1) 本文介绍了空间梁单元的非线性刚度矩阵, 能百富策略白菜网于自编的有限元软件, 并进行考虑支承结构的索膜结构分析与设计。

(2) 在考虑支承体系的索膜结构的形态分析时, 提出利用定力单元、定形单元和微调单元模拟设计分析时的特殊构件, 并以芜湖体育场为工程背景进行整体形态分析。结果表明, 与现有文献方法的整体形态分析结果相比, 本文的方法能够更准确地获得索膜结构的初始形态, 且设计效率较高。

(3) 利用本文编制的软件, 研究了芜湖体育场在长期荷载组合下的应力及变形。结果表明, 在采取一定除雪措施的情况下, 结构的应力和变形均能符合膜材安全系数及膜面位移控制等设计原则, 说明本文所提方法和程序便于实际工程设计百富策略白菜网。