膜结构 (Membrane) 是20世纪中期发展起来的一种新型建筑空间结构形式, 由于它具有重量轻、强度高、造型优美等优点, 逐渐地被广泛地百富策略白菜网和发展起来[1]。膜结构主要包括气承式充气膜结构、气肋式充气膜结构、张力膜结构, 以及带有索杆等支撑的膜结构。20世纪70年代, 随着科技的发展和建筑膜材料的改进, 以日本召开的世界博览会为契机, 众多大型的膜结构展览馆和体育馆孕育而生, 其中具有代表性有Murata和 Kawaguchi设计的富士馆, 以及Geiger和Bird设计的美国馆等充气膜结构。到了20世纪80年代后期, 张拉式膜结构的建筑逐渐地发展起来, 在一定程度上解决了膜结构使用维护费用比较高的问题, 摆脱了因空气控制系统以及热力系统不稳定而造成的影响[2]。

膜结构的设计一般包括以下几个步骤:

(1) 总体设计: 主要是根据建筑的功能、要求、效果等, 确定膜结构的总体结构形式。

(2) 找形分析: 在满足几何边界条件以及力学平衡条件的情况下, 确定结构的初始几何形状和初始预应力, 并且对所得的形状进行优化和调整。

(3) 荷载分析: 对经过找形分析得到的结构几何形状进行各种荷载作用下的变形、应力验算以及稳定性能的分析和研究。

(4) 裁剪分析: 对已经确定的结构几何形状进行裁剪线式样的布置, 使空间曲面能近似地展开成平面, 从而利于进行平面膜材拼接施工。

膜结构的裁剪分析是膜结构设计中的一个关键技术之一, 裁剪分析结果的好坏直接影响着工程的整体质量, 关系着所确定的空间几何形状能否如所期望的那样得到实现[3]。剪裁分析就是考虑预应力的施加分区、薄膜材料的性能、幅宽及单元的剖分策略的前提下, 寻找合适的剪裁线位置及其分布, 确定剪裁式样, 计算二维膜材的剪裁下料图的过程。设计出合适的剪裁下料图, 就可以据其通过拼接、张拉生成膜结构的空间曲面。如果剪裁分析做得不当, 将极大地改变膜结构中原来的应力分布, 甚至膜材出现褶皱, 改变结构的初始形状和受力性能[4]。目前膜曲面的划分方法主要有测地线法、平面分割法以及手工分割法等。经由分割以后得到的膜条曲面片就可以进行曲面的展开了。如果有膜条局部曲面曲率很大造成展开后误差较大, 就需要对曲面片进行细分, 使裁剪线分布得更密一些[5]。本文主要讨论曲面片的展开问题。

空间膜曲面可以随意划分为若干相邻的条元, 条元的宽窄一般不应超过膜材的幅宽, 曲面曲率大的条元宽度应相应减小。把空间曲面沿I方向划分N-1个条元, 沿J方向分成M-1段 (如图1 (a) ) , 每个节点记为 (I, J) , 分别表示该节点所在的列和行, 整个曲面就由这些节点组成的三角形单元形成的条元构成。

任意假定一平面试形状, 要求试形状网格的划分与空间曲面具有一一对应的关系 (图1 (b) ) 。

如上所述, 假定把空间曲面沿I方向划分为N-1个条元, 沿J方向划分成M-1个条元。为方便起见, 每一节点用一数对 (I, J) 表示, 分别代表其所在的列和行, 该节点的位移用UI, J表示, 即UI, J={ux, uy}T。那么沿着第I列的所有节点 (共M个) 的位移向量可表示为:

{UI}=[{UI, 1}T, {UI, 2}T, {UI, 3}T, …,

{UI, J}T, …, {UI, M}T]T (1)

第I个条元是由在坐标线I和I+1之间的三角形单元组成, 因此第I条元内存储的变形能取决于节点位移量{UI}和{UI+1}, 用式 (2) 计算:

EI (UI, UI+1) =[{UI}T[K11 (I) ]{UI}+

{UI+1}T[K22 (I) ]{UI+1}]/2+

{UI}T[K12 (I) ]{UI+1}-{P1 (I) }T

{UI}-{P2 (I) }T{UI+1} (2)

式中[K11 (I) ]、[K12 (I) ]、[K22 (I) ]和{P1 (I) }、{P2 (I) }分别为第I个条元总刚度矩阵的分块阵和等效节点力列向量, 下标1和2分别表示坐标线I和I+1, 它们的集成与标准的有限元完全相同, 即先形成条元内所有三角形单元的刚度矩阵, 然后按“对号入座”的原则组合成该条元的总刚。若沿坐标线I和I+1分别有a和b个节点, 则[K11 (I) ]为2a×2a阶方阵, [K22 (I) ]为2b×2b阶方阵, [K12 (I) ]为2b×2a阶方阵。整个区域 (共N-1个条元) 内的总变形能为:

E(U1,U2,U3,⋯,UN)=∑I=1N−1EI(UI‚UI+1) (3)E(U1,U2,U3,⋯,UΝ)=∑Ι=1Ν-1EΙ(UΙ‚UΙ+1)(3)

要得到与空间曲面最接近的曲面, 必要求总变形能最小。上述问题就转化为与式 (3) 有关的极小值问题。我们引入动态规划法目标函数为:

fn(Un)=min∑I=nN−1EI(UI‚UI+1) (4)fn(Un)=min∑Ι=nΝ-1EΙ(UΙ‚UΙ+1)(4)

将式 (4) 写成动态规划法的标准形式为:

fn (Un) =min (En (Un, Un+1) ) +fn+1 (Un+1) (5)

对目标函数求微分得:

∂En∂Un+1+dfn+1(Un+1)dUn+1=0 (6)∂En∂Un+1+dfn+1(Un+1)dUn+1=0(6)

根据Castigliano theorem, 式 (6) 为Castigli-ano theorem表达式的第二式。从该式可以得出fn (Un) 是{Un}的二次多项式, 可写成如下形式:

fn (Un) ={Un}TRn{Un}+2 ({Un}Trn) +sn (7)

式中矩阵Rn, 列向量rn和常量sn为待求量。

式 (2) 、式 (7) 代入式 (6) 得:

[K22 (n) ]{Un+1}+[K21 (n) ]{Un}+

{P2 (n) }+[Rn+1]+{rn+1}=0 (8)

因此,

{Un+1}=- ([Rn+1]+[K22]) -1 ([K21 (n) ]

{Un}+{rn+1}+{P2 (n) }) (9)

把式 (7) 、 (9) 代入式 (6) 并进而推出:

[Rn]=[K11 (n) ]-[K12 (n) ][A (n) ][K21 (n) ] (10)

{rn}={P1 (n) }-[K12 (n) ][A (n) ]{P2 (n) }-

[K12 (n) ][A (n) ]{r2 (n) } (11)

{sn}=- ( ({P2 (n) }+{rn+1}) T[A (n) ]

({P2 (n) }+{rn+1}) ) +{sn+1} (12)

式中:

[A (n) ]= ([K22 (n) ]+[Rn+1]) -1 (13)

为了确定式 (10) 、 (11) 、 (12) 的初始条件, 取N为自然边界, 且使UN满足最优化函数:

fN-1 (UN-1) =EN-1 (UN-1, UN) (14)

即:

UN=argminUEN−1(UN−1‚U) =−K−122(N−1)K21(N−1)UN−1− K−122(N−1)P2(N−1) (15)UΝ=argminUEΝ-1(UΝ-1‚U)=-Κ22-1(Ν-1)Κ21(Ν-1)UΝ-1-Κ22-1(Ν-1)Ρ2(Ν-1)(15)

式 (15) 代入式 (14) , 同时考虑式 (2) 和式 (7) 可得到:

RN-1=K11 (N-1) -K12 (N-1)

K−12222-1 (N-1) K21 (N-1) (16)

rN-1= P1 (N-1) -K12 (N-1)

K22 (N-1) P2 (N-1) (17)

sN-1=- (P2 (N-1) ) TK22 (N-1) P2 (N-1) (18)

比较式 (10) 、 (11) 、 (12) 和式 (16) 、 (17) 、 (18) 则可得初始条件:

[RN]=0

{rN}=0

{sN}=0

这样便可利用式 (10) 、 (11) 、 (12) 向前回代求出[RN-1]、{rN-1}、{sN-1}、…、[R1]、{r1}、{s1}。

在初始条件:

U1=argminU1f1(U1)=−[R1]−1{r1} (19)U1=argminU1f1(U1)=-[R1]-1{r1}(19)

可以由式 (9) 计算出Un, n从2到N。式 (19) 初始条件也可由式 (9) 令P2 (0) =U0=0, K21 (0) =K22 (0) =0时得到。把Un分别叠加到相应得试平面节点坐标上, 得到新的试形状, 直到总的变性能满足一定的限值要求, 迭代终止, 得到最后的展开平面。

上述展开过程没有考虑膜中的预张力, 即在无应力状态下进行展开计算, 但在实际的工程中膜中不存在无应力状态, 即在任何时候都存在这一定的应力水平。应力释放后, 膜材会有一定的收缩量, 因此, 在进行膜片的裁剪时要考虑这一因素的影响。

假设膜面中存在一定的应力状态, 单元中预张力应力为{σ}, 由它引起的单元等效节点力为{f}。根据虚功原理容易得到:

{f}=∫ ([B]T{σ}) dV

其中, [B]是转换矩阵, 表示单元预张应力与等效节点力之间的关系。根据前述的动态规划法原理, 求出由{f}引起的节点位移, 分别反向叠加到已生成的各条元平面展开图的节点坐标上即可。

动态规划法作为一种全新的曲面展开的理论方法, 为膜结构裁剪分析中把曲面展开成平面提供了另外一种全新的思路, 不仅可以在膜结构设计中作为膜片裁剪分析的主要方法, 也同时可以和其他方法一起使用, 譬如以测地线裁剪得到条元为基础[6], 然后用动态规划法对所得的条元进行曲面展开, 会得到更好的效果。