裁剪分析是膜结构设计的一个独特而关键的问题, 它是在形态分析和荷载分析的基础上, 将已得到的满足功能、美观、安全等要求的空间膜曲面裁剪剖分并展成平面膜片的过程[1]。裁剪下料的准确与否直接关系到施工安装后的平整度, 即裁剪条元施工后得到的膜曲面与设计曲面形式的吻合程度, 进而影响到荷载分析结果的准确性, 即使用的安全性[2]。

通过计算机形态分析得到的膜结构表面为空间曲面, 要想利用平面膜片对其进行近似的拼接, 首先要做的就是将空间曲面分割成空间膜片, 此分割线又称为裁剪线。

几十年来的研究和工程实践中, 人们使用的裁剪线主要有如下几种:

平面切割线是一组垂直于膜曲面投影面的竖直面与膜结构空间表面相交的交线。这种裁剪线的确定方法比较简单, 但展开的膜片中会有很多的香蕉形膜片, 增加了裁剪线的长度, 容易造成材料的浪费, 且当曲面形状较为复杂时, 可能出现很不规则的展开图形, 给裁剪下料带来不便。

直接利用形态分析中的有限元网格线作为裁剪线, 此法方便快捷, 不需多余的工作。但不够灵活, 对形态分析中有限元网格的划分有一定的限制, 不利于形态分析, 且无法根据美观及力学要求来调整裁剪线, 也不易满足膜材幅宽的要求。

日本学者石井一夫最早提出采用测地线进行膜结构的裁剪下料。基本方法有如下3种:

一种是直接将测地线作为裁剪线, 并利用测地线的性质在展开图形中将裁剪线展开为直线, 亦即使展开图形的边界线成为直线, 这给裁剪下料带来很大方便, 但由直线边界来界定展开图形, 相当于给展开图形的边界施加一个直线的边界“约束”, 使展开的图形无法考虑空间膜片内部的曲率, 当曲率较大时将产生较大误差。

另一种做法是将测地线作为裁剪线, 但在展开图形时, 全部或部分测地线都不再成为直线, 这种测地线只是起到界定膜片的作用。

第3种做法是不直接将测地线作为裁剪线, 而是以测地线作为生成裁剪线和展开图形的基准线, 即在此基准线的基础上再按照某种原则确定裁剪线, 并在展开图形时将此基准线展开为直线。为了减少误差累积, 通常使测地线 (基准线) 位于展开图形的中心。由于在由裁剪线界定的膜片中有一条将展成为直线的测地线存在, 便于使结构的受力方向和膜材纤维方向的相对位置满足设计意图, 且对于复杂的曲面形式, 也能保证裁剪展开的图形比较规整, 即不会出现较多的香蕉形膜片, 从而节省材料。

在曲面上的3个连续的三角形单元上, 如图1所示, 若要寻找一条包含线段AB的测地线, 可使线段AB向下延伸到C点, 并令∠ABN =∠MBC, 那么线段ABC就是要求的测地线的一部分。因为∠ABN=∠MBC, 当把这两个三角形旋转到一个平面时ABC必为一条直线。同理可将测地线延伸到D点, 以此类推可以得到多个三角形组成的空间曲 (折) 面上的测地线。

这种方法简洁、方便、误差累积小, 但其不足在于线段AB的初始方向具有任意性, 由之得到的测地线的最终形状不易事先判断, 其结果常常不满足美观和技术性能要求。另外, 如果在测地线延长过程中, 若与网格节点相交, 那么如何进一步延长测地线是一个还有待解决的问题。

以几何法为基础实现在曲面上任意两点之间生成测地线, 同时解决当测地线与网格节点相交时如何延长测地线的问题。

例如寻找图2所示的空间曲面上的A, B。图1几何法生成的测地线两点间的测地线, 那么根据几何法的思想可由端点A按任一初始方向生成一条测地线AB′, 然后根据点B与点B′的相对位置及距离大小, 调整初始方向得到另一条测地线AB″, 经多次迭代可得到满足精度要求[BB*]< h (h为一微小距离) 的测地线AB*, AB*即为拟求测地线。但为了使由初始方向生成的测地线更加接近于拟求的目标测地线, 本文对初始方向的确定做以下规定:连接拟求测地线的两个端点A, B作一条空间直线, 将此直线投影到A点所在的三角形网格所在的平面上, 投影线AC即为初始方向。

当测地线在由平面三角形组成的连续折面上延伸时很可能出现与网格节点相交的情况。如图3所示, 其中CA为测地线的一部分, 此时对顶角相等的原则将不再适用, 即测地线经过节点A后无法确定如何延伸。如果是一个连续的光滑曲面, 那么可以根据测地线的定义或其他性质精确地求解测地线经过节点后的走向, 但曲面分解成由平面三角形组成的连续折面后, 很难求出测地线走向的精确解。本文提出一种近似的解决方法, 首先, 将以A点为顶点的所有网格二角形在此点的角度相加, 得到空间曲面在节点A的总角度值Q, 根据测地线的性质, 如果将如图3所示的空间曲面展开为平面时, 测地线为一条直线, 因此本文取总角度Q的一半为控制角度, 从∠CAD出发, 顺时针累加A点的曲面角度, 当所得到的累加角度等于控制角度时, 得到点F, 即以方向AF作为测地线经过节点后的近似走向。

改进后的方法弥补了几何法生成测地线时另一个端点不易控制的缺点, 可在曲面的任意两点之间生成测地线。

将位于膜曲面上的两条相邻的测地线 (一条是裁剪线, 一条是展开图形的基准线) 分别等分为n等份, 得到等分点坐标 (n的取值可根据曲率的大小及所需的精度确定) , 之后在对应的等分点之间作测地线, 称为二次测地线 (如图4所示) , 之后将二次测地线展开为直线。同理可得到基准线另一侧的裁剪线, 两裁剪线之间即为得到的裁剪条元。

二次测地线展开法的优点首先在于原理及实现方法较为简单[1]。其次, 展开的图形直接由位于膜曲面上的测地线及二次测地线控制, 这相当于在空间曲面上得到一张由纵横交错的测地线构成的网, 之后将此网展开, 在有测地线 (非裁剪线) 存在的部位, 空间曲面的尺寸可以得到真实的反映, 而且其他部分的展开精度可由二次测地线的疏密来控制。

百富策略白菜网该方法时有如下问题: 因为有相当大部分测地线被用作裁剪线, 在展开时这些测地线都失去了原有性质, 裁剪线所位于的区域展开之后的尺寸与其真实的尺寸就存在一定的差距;相邻展开图形边界的长度不相等, 而在施工时需将相邻膜片连接, 连接在一起的两条边界的长度应恰好相等, 展开结果给连接定位带来麻烦。

针对以上问题提出修正的二次测地线方法: 将位于膜曲面上的两条相邻的测地线, 分别等分为n等份, 得到等分点坐标 (n的取值可根据曲率的大小及所需的精度确定) , 之后在对应的等分点之间作测地线, 称为二次测地线, 取所有二次测地线中点连接起来作为一条裁剪线, 同理得到另一条裁剪线, 展开时以一条测地线为基准线, 向两边将二次测地线展开为直线, 得到两条裁剪线, 两裁剪线之间即为得到的裁剪条元。

百富策略白菜网本文的方法将空间曲面展开为平面图形时, 所有测地线保持其平面展开为直线的性质, 使其作为膜片裁剪时的控制线, 定位方便;相邻膜片拼接时能够一一对应, 没有误差, 连接方便。

本文从裁剪线生成及图形展开两个方面对膜结构的裁剪分析进行了讨论, 介绍了目前广为百富策略白菜网的生成裁剪线的几种方法。在此基础上, 提出了以测地线作为图形展开的基准线, 和以二次测地线为基础的修正二次测地线法。