张拉膜结构为典型的大变形柔性体系[1], 它的振动属于大位移小应变的几何非线性振动。针对张拉膜结构的几何非线性特性, 当前的研究主要集中在百富策略白菜网非线性有限元方法对膜结构进行离散分析[2], 通过等效线性化方法研究随机激励的膜结构振动[3,4]。

本文百富策略白菜网达朗贝尔原理对方形张拉膜结构进行离散, 建立了结构振动的离散微分方程组。通过激发膜结构的一阶振型, 并百富策略白菜网等效线性化方法得到了方程组非线性项的等效线性刚度矩阵, 给出了结构的等效一阶振动频率的计算方法。文章接着分析了计算方法涉及的各相关参数对结构非线性的影响情况。由于对等效一阶频率计算的过程比较繁琐, 而且任意结构参数的改变都要经过重复的复杂计算, 考虑到方便使用, 基于实际膜结构使用膜材的物理参数以及在通常工作状态下结构的张拉应力范围, 通过拟合得到了方形膜结构的简洁的等效一阶频率的拟合公式。

对于四边简支的正方形膜结构, 令T0为单位长度边界上的张力, ρ为单位面积的膜的质量, w为在z方向的位移, L为膜边长, t为膜的厚度, E为膜材的弹性膜量, S为单位宽度膜的横截面积 (S=1×t=t) , ε0为预张拉应变。

对该正方形膜进行7×7均匀离散, 离散图如图1所示。离散系统由集中质量mi, j与初始长度为li, jL、li, jR、li, jU、li, jD, 对应刚度为kijL、kijR、kijU、kijD的弹簧组成。

在忽略重力作用时, 百富策略白菜网达朗贝尔原理, 对集中质量mi, j进行受力分析, u, v, w为对应于x, y, z方向位移。u, v相对于w为小量, 这里忽略u, v, 并且考虑到对正方形膜采取均匀离散, 所以有mi, j=m、kijL=kijR=kijU=kijD=k。这里的m=ρ (L/7) 2, k=ELt/7。由此可以得到z方向的运动方程为:

mw⋅⋅i,j+∑S=L,R,U,D⋅(kε0+kli,jS(l2i,jS+Δw2i,jS−−−−−−−−−−√−li,jS))Δwi,jSl2i,jS+Δw2i,jS√=0 (1)mw⋅⋅i,j+∑S=L,R,U,D⋅(kε0+kli,jS(li,jS2+Δwi,jS2-li,jS))Δwi,jSli,jS2+Δwi,jS2=0(1)

其中Δwi, jS为集中质量mi, j相对于相邻集中质量的z方向相对位移。对上式进行整理得:

mw⋅⋅i,j+∑S=L,R,U,D⎛⎝⎜kli,jSΔwi,jS−k(1−ε0)l2i,jS+Δw2i,jS−−−−−−−−−−√Δwi,jS⎞⎠⎟=0 (2)mw⋅⋅i,j+∑S=L,R,U,D(kli,jSΔwi,jS-k(1-ε0)li,jS2+Δwi,jS2Δwi,jS)=0(2)

对上式 (2) 进行Taylor展开, 保留3次小量。在展开的时候, 考虑到弹性回复力是由集中点与相邻集中点的位移差来提供的, 所以在展开的时候对位移差展开。于是式 (2) 变为:

mw⋅⋅i,j+∑S=L,R,U,D(kε0li,jSΔwi,jS+k(1−ε0)2l3i,jSΔw3i,jS)=0 (3)mw⋅⋅i,j+∑S=L,R,U,D(kε0li,jSΔwi,jS+k(1-ε0)2li,jS3Δwi,jS3)=0(3)

式 (3) 可以写为如下矢量形式:

MX⋅⋅+KX+GN(X)=0 (4)ΜX⋅⋅+ΚX+GΝ(X)=0(4)

其中X、M、K、GN (X) 分别为系统的位移矢量、质量矩阵、线性刚度矩阵及其系统的非线性项矢量。

在小振幅的假设下, 设X=a (t) ·Φ1, 其中Φ1为线性系统下的一阶振型。代入式 (4) , 并且左乘ΦT11Τ, 记m1=ΦT11ΤMΦ1、k1=ΦT11ΤKΦ1、gN=ΦT11ΤGN (X) , 则式 (13) 可以写成:

m1a⋅⋅+k1a+gN(a)=0 (5)m1a⋅⋅+k1a+gΝ(a)=0(5)

其中非线性项gN (a) 项跟系统的增幅直接相关。可以通过等效线性化方法[5], 把gN (a) 等效为kN (a) , 其中kN为非线性项的等效刚度。对于此处所述的确定性振动, 它可以解释为周期振动的能量误差极小。

∂∂a∮(gN(a)−kNa)2da=0 (6)∂∂a∮(gΝ(a)-kΝa)2da=0(6)

其中kN与初始位移幅度有关。于是式 (5) 可以写成

m1a⋅⋅+(k1+kN)a=0 (7)m1a⋅⋅+(k1+kΝ)a=0(7)

除以m1得

a⋅⋅+ω21(1+kN/k1)a=0 (8)a⋅⋅+ω12(1+kΝ/k1)a=0(8)

其中ω1=k1/m1−−−−−√ω1=k1/m1, 为无阻尼系统不考虑几何非线性的基频。式 (8) 表达为

a⋅⋅+ω2Na=0 (9)a⋅⋅+ωΝ2a=0(9)

则有ωN=ω11+kN/k1−−−−−−−−√=ω11+fN−−−−−−√ (10)ωΝ=ω11+kΝ/k1=ω11+fΝ(10)

至此, 推出了忽略重力作用下系统的等效一阶频率, 即ωN的计算式。

当考虑重力作用时, 基本过程与以上分析相似, 只是需要在式 (1) 左端加m·g项。在计算非线性项的等效线性刚度kN时, 式 (6) 中需要加入一项g′=ΦT11ΤG, 其中的G为重力加速度矩阵。式 (6) 变为:

∂∂a∮(gN(a)+g′−kNa)2da=0∂∂a∮(gΝ(a)+g′-kΝa)2da=0 (6b)

其等效一节频率的推导与式 (7) ～式 (10) , 并可得到式 (10) 一样的表达式。

由以上推导可以知道, fN表征了系统的非线性程度, fN的取值直接影响到结构的等效一阶频率ωN的取值。非线性项fN取值的相关参数主要为结构的初始应变ε0与相对振幅A[6]。其相关表达式可写为:

fN~(1−ε0)2ε0Δw2i,jSl2i,jS~(1−ε0)2ε0A2 (11)fΝ~(1-ε0)2ε0Δwi,jS2li,jS2~(1-ε0)2ε0A2(11)

由式 (11) , 可以知道式中不含结构弹性模量E、密度ρ以及结构边长L, 因此这3个参数的变化不会影响fN的取值。fN随着初始应变ε0单调减, 随着结构的相对振幅的A单调增。因此影响到一阶等效频率取值的参数为ε0、A以及结构对应的线性系统一阶频率ω1。

至此, 讨论了方形张拉膜结构考虑几何非线性的等效一阶频率的计算方法, 并且讨论了影响结构非线性的因素。由于对等效一阶频率计算的过程比较繁琐, 而且任意结构参数的改变都要经过重新计算。考虑到方便使用, 有必要对相关参数进行拟合, 得出简洁的计算公式。

在对系统进行一阶等效频率的公式拟合时, 参考实际使用膜材的物理参数以及膜结构在工作状态下的主应力控制范围[6], 设定E, ρ, ε0, L, A等5个参数的参考值分别为800MPa、1kg/m2、0.002 5、5m、2.5%。设ω1, 0、ωN, 0、fN, 0为参考值处的一阶线性理论频率值、等效一阶频率及其非线性项fN的取值;ω1, ε0、ωN, ε0、fN, ε0分别对应于结构相对于参考值偏离Δε0的一阶线性理论频率值、等效一阶频率及其非线性项fN的取值;ω1, A、ωN, A、fN, A分别对应于结构相对于参考值偏离ΔA的一阶线性理论频率值、等效一阶频率及其非线性项fN的取值;ω1、ωN、fN, A分别为相对于参考值偏离Δε0, ΔA的一阶线性理论频率值、等效一阶频率及其非线性项fN的取值。

由方形张拉膜结构的线性一阶频率理论公式[7]:

ω1=π2√LT0ρ−−√ (12a)ω1=π2LΤ0ρ(12a)

其中T0=ESε0, 上式变为:

ω1=(2π2ESL2ρ)0.5⋅ε0.50 (12b)ω1=(2π2ESL2ρ)0.5⋅ε00.5(12b)

显见, 由式 (12b) 可以得到:

ω1,ε0ω1,0=ω1ω1,A (13)ω1,ε0ω1,0=ω1ω1,A(13)

由上式并且结构公式 (10) , 从而可以得到:

ωN,ε0ωN,0/ωNωN,A=(1+fN,ε0)(1+fN,A)(1+fN,0)(1+fN)−−−−−−−−−−−−√ (14)ωΝ,ε0ωΝ,0/ωΝωΝ,A=(1+fΝ,ε0)(1+fΝ,A)(1+fΝ,0)(1+fΝ)(14)

通过分析可以知道上式左端项在ε0在参考值±20%区间内取值、A在0%～5%内取值时, 取值在1%±2%, 为了简化起见, 这里取为1。因此, 式 (14) 可以写改成如下形式:

fN=(1+fN,ε0)(1+fN,A)(1+fN,0)−1 (15)fΝ=(1+fΝ,ε0)(1+fΝ,A)(1+fΝ,0)-1(15)

在0%～5%区间选取一组相对振幅, 以前述参考值固定其它是个参数, 计算系统的非线性项fN, A, 对计算结果进行拟合得:

fN,A(z)={484.0927z1.93718752.0188z2.10327(忽略重力作用)(考虑重力作用) (16)fΝ,A(z)={484.0927z1.93718(忽略重力作用)752.0188z2.10327(考虑重力作用)(16)

在预张应变的参考值的正负±20%区间内选取一组数值, 以前述参考值固定其它是个参数, 计算系统的非线性项fN, ε0, 对计算结果进行拟合得:

fN,ε0(x)={0.2438+1.95827e−x/0.0009340.2217+1.09893e−x/0.00103(忽略重力作用)(考虑重力作用) (17)fΝ,ε0(x)={0.2438+1.95827e-x/0.000934(忽略重力作用)0.2217+1.09893e-x/0.00103(考虑重力作用)(17)

至此, 由式 (10) 并结合式 (12) 、式 (15) 可以得出较为简洁的等效一阶频率计算式:

为了检验拟合公式的正确性,

图2a、图2b分别列出了初始应变0.002, 边长5m以及初始应变0.003, 边长5m结构在忽略重力作用以及考虑重力作用下的等效一阶频率的计算较之直接计算更方便实用。

另外需要指出的是, 由于几何非线性系统随着振动振幅的增大, 其非线性程度迅速增强, 即使在初始只激发膜结构的一阶振型, 在很短时间内, 它的能量在频域上的分布也会迅速扩散, 从而不再具有本文所定义的意义上的等效一阶频率。不过, 对于正常工作状态下的膜结构, 由于较大的张拉预应力, 使得它的相对振幅可以保持在较小的范围, 从而使得本文的拟合公式 (18) 的适用性得到保障。

本文百富策略白菜网达朗贝尔原理建立了考虑几何非线性的离散的方形张拉膜结构振动微分方程组, 推导了结构的等效一阶频率计算方法。基于实际膜结构膜材的物理参数以及工作状态下结构的张拉应力范围, 并且考虑到方便使用, 本文在分析了计算方法涉及的各相关参数对结构非线性的影响情况, 通过拟合得到了简洁的等效一阶频率的拟合公式。