膜结构的振动有两个问题不可避免[1].其一是膜结构振动的气动弹性效应.膜结构的振动必然伴随着与空气的耦合, 它的振动带动了空气的运动, 同时空气的运动也反作用于膜结构, 制约着膜结构的振动;或者空气的运动带动了膜结构的振动, 而膜结构的振动同时改变了空气在膜结构周围的空气的运动性质.其二是膜结构振动的几何非线性.膜材料柔软、质轻, 不具有弯曲刚度, 膜面刚度主要由预张力和互反曲面所构成的几何刚度提供, 膜结构通常为典型的大变形柔性体系.膜结构的振动必然是几何非线性的振动.

膜结构的几何非线性特性不可忽略, 强制假定为线性将给对膜结构的耦合风振分析结果带来很大的误差, 因此有必要对它的几何非线性进行细致的研究.当前的研究主要百富策略白菜网非线性有限元方法对膜结构进行离散分析[2], 通过等效线性化方法研究随机激励的膜结构振动[3,4], 但是没有涉及相应参数对结构非线性影响的分析.本文集中讨论方形膜结构的几何非线性特性.通过激发膜结构的一阶振型, 百富策略白菜网等效线性化方法得到结构的等效线性刚度, 进而讨论膜材的预张拉、几何尺寸、弹性模量、膜材的密度以及初始振幅等参数对结构振动的影响.

对于四边固定的正方形膜结构, 令T0为单位长度边界上的张力, ρ为单位面积的膜的质量, w为在z方向的位移, L为膜边长, E为膜材的弹性模量, S为单位宽度膜的横截面积, ε0为单向预张拉应变.在线性假定下, 膜结构振动频率的计算公式[5]如下:

ωni=πm2+n2√LT0ρ−−√ m,n=1,2 (1)ωni=πm2+n2LΤ0ρm,n=1,2(1)

物理参数及其边界条件同上, 对四边简支的正方形膜进行均匀离散, 离散图见图1.离散系统由集中质量mi, j与弹簧kijL, kijR, kijU, kijD组成.本文将分忽略重力作用及考虑重力作用两种情况进行分析.

在忽略重力作用时, 百富策略白菜网达朗伯原理, 对集中质量mi, j 进行受力分析, u, v, w为对应于x, y, z方向位移.u, v相对于w为小量, 这里忽略u, v, 可以得到z方向的方程运动为

mi,jw⋅⋅i,j+∑S=L,R,U,D⋅(ki,jSε0+ki,jSli,jS(l2i,jS+Δw2i,jS−−−−−−−−−−−√−li,jS))Δwi,jSl2i,jS+Δw2i,jS√=0 (2)mi,jw⋅⋅i,j+∑S=L,R,U,D⋅(ki,jSε0+ki,jSli,jS(li,jS2+Δwi,jS2-li,jS))Δwi,jSli,jS2+Δwi,jS2=0(2)

式 (2) 中:Δwi, jS为集中质量mi, j相对于相邻集中质量的z方向相对位移.对式 (2) 进行整理得

mi,jw⋅⋅i,j+∑S=L,R,U,Dki,jSli,jSΔwi,jS−ki,jS(1−ε0)l2i,jS+Δw2i,jS√Δwi,jS)=0 (3)mi,jw⋅⋅i,j+∑S=L,R,U,Dki,jSli,jSΔwi,jS-ki,jS(1-ε0)li,jS2+Δwi,jS2Δwi,jS)=0(3)

对式 (3) 进行Taylor展开, 保留3次小量.考虑到弹性回复力是由集中点与相邻集中点的位移差来提供的, 故位移差为变量进行展开.于是, 式 (3) 变为

mi,jw⋅⋅i,j+∑S=L,R,U,D(ki,jSε0li,jSΔwi,jS+ki,jS(1−ε0)2l3i,jSΔw3i,jS)=0 (4)mi,jw⋅⋅i,j+∑S=L,R,U,D(ki,jSε0li,jSΔwi,jS+ki,jS(1-ε0)2li,jS3Δwi,jS3)=0(4)

由于对正方形膜采取均匀离散, 所以有mi, j=m, kijL=kijR=kijU=kijD=k.由此, 式 (4) 可简化为

mw⋅⋅i,j+∑S=L,R,U,D(ki,jSε0li,jSΔwi,jS+ki,jS(1−ε0)2l3i,jSΔw3i,jS)=0 (5)mw⋅⋅i,j+∑S=L,R,U,D(ki,jSε0li,jSΔwi,jS+ki,jS(1-ε0)2li,jS3Δwi,jS3)=0(5)

式 (5) 可写为如下矢量形式:

MX⋅⋅+KX+GN(X)=0 (6)ΜX⋅⋅+ΚX+GΝ(X)=0(6)

通过对方形膜结构进行7×7离散.百富策略白菜网四阶Runge-Kutta法, 并且考虑到结构以及一阶振型初始位移相对于x=0, y=0, x±y=0等轴对称, 把Runge-Kutta方程组从49阶缩减为10阶.

计算表明, 当不考虑几何非线性效应时, 由式 (5) 所得的离散系统的一阶频率与式 (1) 所得的连续系统的理论线性一阶频率的误差在1%左右, 可认为离散系统可以足够精确地替代连续系统.这一比较也在一定程度上证明了式 (5) 的正确性.

对边长5 m的方形膜结构, 取与实际膜结构参数相符的弹性模量800 MPa、密度1 kg·m-2、初始应变0.002 5, 激发结构一阶位移振型使结构振幅与边长比 (本文称为相对振幅, 以A表示) 为5%, 对结构进行试运算, 结果见图2.在图2a中可以看到, 各集中点的振动依然可以保持同步性.图2b显示, 有一个在能量上占主导并略大于对应的线性结构的基频的频率值, 结构非线性振动引起倍频成分, 能量较弱.据此, 在本文以下的讨论中, 结构在小振幅一阶振型初始位移的自由振动中, 只考虑结构的一阶振型.由此, 可进一步导出膜结构的等效一阶频率.

在小振幅的假设下, 设X=a (t) ·Φ1 , 其中Φ1 为线性系统下的一阶振型.则式 (6) 可以写成

MΦ1a⋅⋅+KΦ1a+GN(X)=0 (7)ΜΦ1a⋅⋅+ΚΦ1a+GΝ(X)=0(7)

左乘ΦT11Τ, 得到

ΦT1MΦ1a⋅⋅+ΦT1KΦ1a+ΦT1GN(X)=0 (8)Φ1ΤΜΦ1a⋅⋅+Φ1ΤΚΦ1a+Φ1ΤGΝ(X)=0(8)

记m1=ΦT11ΤMΦ1, k1 =ΦT1KΦ1, gN=ΦT11ΤGN (X) , 则 (8) 可写为

m1a⋅⋅+k1a+gN(a)=0 (9)m1a⋅⋅+k1a+gΝ(a)=0(9)

其中非线性项gN (a) 项跟系统的增幅直接相关.在满足系统各集中质量点同步振动假定下, 可通过等效线性化方法, 把gN (a) 等效为kNa, 其中kN为非线性项的等效刚度.对于此处所述的确定性振动, 它可以解释为周期振动的能量误差极小.

∂∂a∮(gN(a)−kNa)2da=0 (10)∂∂a∮(gΝ(a)-kΝa)2da=0(10)

其中kN与初始位移幅度有关.于是式 (9) 可写成

m1a⋅⋅+(k1+kN)a=0 (11)m1a⋅⋅+(k1+kΝ)a=0(11)

除以m1, 得

a⋅⋅+ω21(1+kN/k1)a=0 (12)a⋅⋅+ω12(1+kΝ/k1)a=0(12)

其中ω1=k1/m1−−−−−√ω1=k1/m1, 为无阻尼系统不考虑几何非线性的基频.式 (12) 可表达为

a⋅⋅+ω2Na=0 (13)a⋅⋅+ωΝ2a=0(13)

则

ωN=ω11+kN/k1−−−−−−−−√=ω11+fN−−−−−−√ (14)ωΝ=ω11+kΝ/k1=ω11+fΝ(14)

至此, 推出了忽略重力作用下系统的等效一阶频率, 即ωN的计算式.

为验证本文方法的适用性, 对弹性模量800 MPa, 密度为1 kg·m-2, 初始应变0.002 5, 边长5 m的方形膜结构随相对振幅变化的等效一阶频率进行了计算, 并且与Adina软件的模拟结果进行了比较, 比较结果列于表1.需要说明的是, 相对振幅0所列值为对应的线性系统的基频.两者的结果吻合较好.

另在考虑重力作用时, 基本过程与以上分析相似, 只需在式 (5) 左端加mg项.在计算非线性项的等效线性刚度kN时, 式 (10) 中需要加入一项g′=ΥT1G, 其中的G为重力加速度矩阵.则式 (10) 变为

以上推导可以知道, fN表征了系统的非线性程度, fN的取值直接影响到结构的等效一阶频率ωN的取值.以下将给出了结构量纲一等效一阶频率ωN/ω1随着单一参数时改变的变化情况并结合fN对结构进行等效一阶频率的参数分析.

对于自由振动张拉膜的几何非线性程度, 可以从结构物理特性, 几何特性及其初始条件等方面讨论, 这里把它归纳为结构的弹性模量、密度、初始应变、结构边长以及结构的相对振幅等5项, 分别以E, ρ, ε0, L, A表示.参考张拉膜的特性及其实际工作参数, 设定以上5个参数的参考值分别为800 MPa, 1 kg·m-2, 0.002 5, 5 m, 2.5%.前4个参数的变化范围为±20%, 相对振幅的变化范围为0～5%.图3给出了结构量纲一等效一阶频率ωN/ω1随着单一参数时改变的变化情况.

在参数分析前, 必须先确定系统是软弹簧系统还是硬弹簧系统, 因为这两种系统在几何非线性上的表现是截然不同的.由于该离散膜结构中各弹簧的预应变变形量小于弹簧初始长, 可以判断该系统为硬弹簧系统[6].

忽略重力作用时, 从式 (14) 可知, 量纲一等效一阶频率ωN/ω1与fN为单调增关系, 它们都能反映结构非线性程度, 随着参数的变化, 它们有相同的变化趋势.因此可从分析fN入手对ωN/ω1进行参数分析.fN是通过非线性项的等效线性刚度与线性项的刚度的比值体现的.由前面的离散结构运动微分方程可以得出fN与(1−ε0)2ε0Δw2i,jSl2i,jS(1-ε0)2ε0Δwi,jS2li,jS2表达式相关, 其中的Δw2i,jSl2i,jSΔwi,jS2li,jS2项与结构的相对振幅A的平方正相关.把它们的相互关系表达为

由式 (16) 出发, 可解释图3中的忽略重力作用下结构非线性程度变化与各参数的关系.式 (16) 中不含结构弹性模量E, 密度ρ以及结构边长L, 因此这3个参数的变化不会影响fN的取值.fN随着初始应变ε0 单调减, 随着结构的相对振幅A单调增.

在考虑重力作用时, fN的值均小于忽略重力作用情况下的取值, 这跟fN随着初始应变的改变的规律有相似之处.因为在考虑了重力的情况下, 近似等于增加了结构的初始应变, 从而减小了相关参数对fN的影响程度, 使系统的非线性程度减弱.

由此可知, 影响非线性项fN取值的相关参数主要为结构初始应变ε0 与相对振幅A.量纲一等效一阶频率取值的影响参数也是初始应变ε0 与相对振幅A, 量纲一等效一阶频率随着初始应变ε0 单调减, 随着结构的相对振幅A单调增.在考虑重力作用时, 量纲一等效一阶频率比忽略重力作用时降低.

(1) 本文百富策略白菜网达朗伯原理建立了考虑几何非线性的离散的方形膜结构振动微分方程组, 推导了结构的等效一阶频率计算方法.通过对张拉方形膜结构的弹性模量、密度、初始应变、结构边长以及结构的相对振幅对于结构的非线性影响的讨论得出, 张拉膜的非线性程度随着相对振幅的增大而增加, 随着初始应变的增大而减小, 结构的自重可以相对抑制结构的非线性;

(2) 结构的非线性与结构材料的密度、弹性模量和几何尺寸无关.

(3) 等效一阶频率的计算方法及其张拉膜结构的几何非线性特性的了解为进一步的膜结构气动弹性效应的研究打下了基础.