近年来, 空间结构的百富策略白菜网越来越广泛, 其结构体系主要有框架、拱架、网架、网壳、张弦梁、悬索以及张拉整体结构等[1].其中整体张拉膜结构具有造型丰富多彩、轻巧飘逸、空间自由灵活、室内环境柔和明亮、施工速度快以及经济效益好等优点.可以说膜结构柔性建筑充分地体现了建筑艺术与技术科学的完美结合[2].

膜结构是一种全张力结构, 其自身不能成为自平衡体系.为了解决平衡问题, 膜结构可以根据自身的形状特点以及建筑场地要求采用充气式膜结构、张拉膜结构、骨架式膜结构、索桁架膜结构以及张拉整体与索穹顶膜结构.此时的膜边界是一种弹性支承, 通常为了计算的简便, 在膜结构的找形 (form-finding) 阶段会将膜边界视为固定, 不考虑支承结构与膜结构的相互作用.这种简化计算的结果将会产生包括膜结构的初始平衡形状的偏差和支承结构内力的偏差, 对后续的裁剪分析和荷载分析都会产生影响.在《膜结构技术规程》中规定:“对于可能产生较大位移的支承点, 在计算中应考虑支座位移的影响, 或与支承结构一起进行整体分析”[3].在实际中考虑支承膜结构的整体性分析很少, 所以, 对找形过程中考虑支承结构与膜结构之间相互作用的具体模拟分析十分重要.

在找形分析的研究过程中有动力松弛法[4] (Barnes, 1974) 、力密度法[5] (Schek, 1974) 等.采用固体力学大位移理论为基础的非线性有限元法对薄膜结构进行静荷载作用下的几何非线性分析, 分析中索离散为空间铰接的2结点杆单元 (link10) , 膜体离散化为3结点三角形单元 (shell41) , 支承柱为实体单元 (solid45) .在分析中忽略结构的自重和外荷载的作用, 在变形过程中结构的应力大小始终为初始预应力, 即不考虑本构关系的影响.于是单元之间的平衡方程为

∫VBΤlσdV+∫VGΤΜGdVΔae=0 (1)

这样整体坐标系下索-膜结构形态分析采用的有限元列式为

ΚnlΔU=-F (2)

式中的非线性刚度矩阵Knl的具体表达式变为

Κnl=n∑i=1Κenli=n∑i=1ΤiΤ∫VGiΤΜeGidVΤi (3)

其中, 膜单元、索单元的应力矩阵分别为:

Μe=[σx00τxy000σx00τxy000σx00τxyτxy00σy000τxy00σy000τxy00σy] (4)Μe=[σ0000σ0000σ0] (5)

其中, F为等效荷载向量, 即:

F=n∑i=1Fe=n∑i=1ΤiΤ∫VBliΤσedVΤi (6)

其中, 膜单元、索单元的应力向量分别为

σe=(σxσyτxy)=ΤiΤ(σx0σy0τxy0)σe=σ0 (7)

式中:Ti为局部坐标系到整体坐标系的单元转换矩阵;σx0、σy0、τxy0为施加膜面的初始预张力;σ0是索单元初始预张力[6].

找形分析的一个关键参数是索和膜的初始应力的分布.由于索和膜自身都是柔性材料, 本身不具备抗弯和抗剪的能力, 必须通过施加预应力的方法来实现结构承载.初始应力必须保证结构产生足够的刚度, 以抵抗外荷载, 并防止膜表面产生松弛和褶皱.通常来说, 在确定的几何边界下, 不同的预应力分布对应了不同的膜曲面造型.“不同的预应力分布”包含有两层含义:在同一个膜面上预应力分布的大小差异, 以及相同边界下不同曲面预应力的数量差别.传统的观点认为最优化的膜结构形态应该满足“膜面预应力处处相等”的原则.

利用ANSYS模拟3个实体张拉模型.具体的实际尺寸为纵向柱距12 m, 横向柱距18 m, 柱为钢管柱高6 m.柱间拉索连接, 模型布置情况如表1、图1.结构的材料参数为:膜面的张拉刚度Et=255 kN/m, 剪切刚度Gt=80 kN/m.

在分析设计中通常会将膜结构的边界用固接的形式来模拟, 即不考虑膜结构与支承结构之间的相互作用, 在实际中这种模拟会存在许多误差.弹性柱支承膜结构的柱顶与膜结构采用的是铰接, 柱底与基础的连接采用的固接, 目的是增大抗侧移刚度.

对于索的预拉力的施加采用的是初始应变法;对膜材预应力的施加考虑程序本身的原因只能通过降温法实现, 需要在膜材料属性中定义热膨胀系数, 膜面采用降温法的初始预应力推算公式[7]为

Δt=ΤEαt (8)

其中, T为设定的膜面初始预应力 (取为-0.784 3 ℃) ;E为膜材虚拟弹性模量 (小弹性模量:比真实的弹性模量低3个数量级, 取为2.55×105 N/m2, 在随后的自平衡找形中再恢复实际模量) ;α为膜材热膨胀系数 (模型中为10) ;t 为膜材的厚度 (取1 mm) .

由式 (8) 可算得膜面的预应力为T=2 kN/m.在开始时假设膜材的泊松比取为0, 所以在这个公式中没有反映泊松比的影响.

在选择控制点的时候, 选取如图1所示具有代表性的脊索1、谷索和脊索2三条控制路线.由于模型左右两部分是对称图形, 故选取一半结构作为结构分析对象.第1、2、3控制路线各选取16个控制点以供位移及应力分析的需要.

如图2所示在脊索1位移分析中, 对x向位移3种模型一致的规律是位移由边缘向跨中逐渐增大并随着刚度的增大而逐渐减小;y向位移是随着支承柱刚度的增大而减小呈现单调变化.

没有考虑弹性柱支承的模型是一种完全刚性的模拟, 虽然利于膜结构模型的找形和收敛, 但对实际情况的位移及应力有着不可忽视的影响.

如图3所示在谷索位移分析中, x方向位移刚度最大的模型1的位移最小, 模型2的位移大于模型3的位移, 可以看出排列并非一致.模型1的位移呈波动形式, 模型2则只有一个波峰, 位移的变化不再遵从刚度大位移小的规律, 需寻找适宜的刚度模型.y方向位移呈现正弦波形图, 模型1出现多个位移变号点.

如图4所示在脊索2位移分析中, x方向位移在数值上虽小, 但模型2的位移与其余2个模型的位移方向相反, 数值也小于其它2个模型, 而且较为平滑.

对比图3可知图4的x向位移不再呈现抛物线形状而是呈直线单调形式, 弹性支承柱刚度的不同会直接改变位移的大小及方向.y方向的位移与图2变化基本一致, 但变向的趋势较图2更为明显.

图5、6分别为边界为固接模型和边界为弹性柱模型的Mises应力云图.

图5、6中可以清楚的看到设置弹性柱支承更有利于膜面应力的均匀分布, 而以固接形式模拟的模型则存在了许多应力变化区域.对弹性柱支承情况, 由于实体柱的存在产生了一些较大的应力 (深色区域为实体柱的应力部分) , 但是单从膜面应力上看其膜面应力分布比无柱固接形式更加均匀.固接情况靠近索边界区域的应力比较大, 甚至会出现应力集中现象, 而远离索边界的地方的应力相对较小, 应力分布比较均匀.这可以说明弹性支承柱的设置通过控制位移的大小可以较好的解决应力分布不均匀的情况.

如图7～10拉索的应力云图所示, 一致的规律是上下边索的应力值较大.

可以看出模型1的索应力分布与固接模型的应力分布最为接近, 但是在实际工程中不可能设置完全刚性的连接形式;模型2和模型3的应力分布则与固接模型的应力分布存在较大的区别, 可以明显看到边索远大于谷索与脊索, 脊索的应力要小于谷索的应力.模型2的脊索1的应力要大于脊索2的应力, 在模型3中随着刚度的减小脊索的应力大致上是相等的.

图11以模型2为例说明弹性支承柱的应力分布情况.选择弹性支承柱外壁跨内与跨外2条应力控制点路线, 控制点从柱顶到柱底依次选取.从图中可以明显看出, 柱外壁跨内一侧的应力远远大于柱外壁跨外一侧的应力.内边缘的应力相对于外边缘的应力更加平滑、稳定, 起伏跳动也比较小, 外边缘的应力则跳跃幅度较大, 出现了很多折点, 从而可能会产生应力集中现象.支承柱顶点的应力要比其他部位的应力大很多, 变化趋势在柱顶位置应力相差较大而在柱底位置则开始逐渐接近.说明柱顶部位的内外边缘差别大, 需要用合理的方式加以处理 (如柱顶加盖板的方式) , 使得内外边缘协同工作以利于应力的均匀分布.

支座反力点位如图1中A、B所示2点.将表2中3个模型的支座分反力经过式f=√f2x+f2y+f2z计算得出的支座合反力列出如表3.

按照理论上分析应该是由于刚度小的柱位移较大而导致索产生松弛, 进而使得最终的支座反力也会变小.从表3中可以清楚的看到, A点模型1的支座反力值是最小的, 模型3的支座反力值居中, 而模型2的支座反力值最大;B点大致与A点的规律相反.表明并不是刚度越小索松弛的越厉害进而导致支座反力也越小, 需要寻找比较合理的刚度才能更好的适应实际工程.

考虑3种膜结构模型情况的自身模态分析, 通过具体分析得出其前15阶自振频率如表4所示.

上述的表格数据是对刚度不同的3种弹性支承柱模型的自振频率的分析.总体规律是, 自振频率比较密集, 随着刚度的减小自振频率呈现逐渐增大的趋势, 但是增大的幅度较小.从表中可看出模型1和模型2在第14阶的自振频率分别为5.279 70 Hz和5.330 02 Hz, 它们之间的差距最大为0.050 32 Hz, 差率约为0.95%;模型2和模型3在第13阶的自振频率分别为5.256 51Hz和5.273 15 Hz, 它们之间的差距最大为0.016 64 Hz, 差率约为0.32%.从结果分析来看可以忽略下部支承柱对膜结构自振频率的影响.各阶频率对应的振型经观察后发现变化不大, 不再给出.其原因在于模态分析中仅仅考虑的是索和膜材本身的自重荷载, 而索膜结构属于柔性结构, 本身的自重荷载较小, 并没有考虑外加荷载的作用, 考虑下部支承与否对膜结构自振频率的影响不是很明显, 基本上可以忽略.相信在施加较大的外荷载 (例如风荷载) 后, 会有较大的影响.

1) 几何形状的确定是一个静力平衡问题, 与结构材料性能模量关系不大, 因此在实用计算中常常把弹性模量E取为实际值的1/100-1/1 000, 即所谓的“小弹性模量法”.采用小弹性模量法使得初始位形向目标位形过渡工程中产生的附加应力很小, 可忽略不计, 最终得到的目标曲面便可以保持初始设置的预应力状态.在该模型的非线性求解过程中, 小弹性模量对加强收敛也有较明显的作用.

2) 在弹性支承柱设置的对比分析中发现弹性支承柱的设置对位移的影响较大, 模型的位移随着支承柱刚度的减小而增大, 相应的膜面应力分布则变的比较均匀, 说明设置支承柱后可以通过位移来控制膜面应力的均匀分布, 避免出现应力集中.柱内边缘的应力要大于外边缘的应力, 应采用柱顶盖板等形式使变形一致、应力均匀.

3) 弹性支撑柱的膜面应力分布可以通过自身在柱顶的位移使膜面应力分布更加均匀, 弹性支承柱刚度越大越接近完全固接模型, 所以需要分析满足实际工程需要的较小刚度的实际弹性支承柱情况.

4) 理论分析中由于刚度小的柱位移较大而导致索产生松弛, 使得最终的支座反力也会变小, 但在实际分析中发现刚度居中的模型的支座反力最大.这表明并不是刚度越小支座反力也会越小, 需要寻找比较合理的刚度才能更好地适应实际工程.

5) 由于该分析是考虑下部支承柱的整体张拉膜结构的找形分析, 模态分析中仅仅考虑了索与膜的自重荷载, 因而最终的频率变化不大, 但是可以看出支承柱刚度的减小将会导致频率的逐渐增大, 因此在施加外部荷载以后可以通过调整支承柱刚度的形式来避免整体结构与风荷载出现共振现象.