裁剪分析是膜结构设计中的关键一环,膜结构的膜面形状一般为复杂的空间曲面且不可展[1,2,3]。常用膜结构设计先找形,然后再裁剪,裁剪分成空间裁切和展平两个步骤,空间裁切形成空间不可展裁切片,展平将空间不可展裁切片展开成近似平面膜片。空间裁切方法主要有测地线法、网格线法等[4,5];展平方法有动态规划法、非线性有限元法等[6,7,8]。本文首先采用网格线法形成空间裁切片,然后采用非线性有限元的等效板单元法,将空间曲面展平问题转化成弹性力学问题,考虑找形前几何平面和找形后的投影平面为两个参考平面,比较两种不同初始展开平面下的膜面展开精度与速度,得出不同展开平面对膜片展平效果的影响。

测地线法是一种常用的确定裁切线方法,它具有两点间裁剪线最短,用料省,受力性能好的特点,但其计算量较大;如果有限元网格划分时,采用一定的映射网格划分技术,那么某些有限单元的网格线可作为裁剪分析时的裁切线,这种方法称为曲面拟合[6]。在小曲率滑移面和锥形旋转面上确定裁切线时,两种方法得到的裁切线比较吻合,因此本文采用曲面拟合法确定裁剪线。裁切后的曲面膜片,考虑应力释放后,可以通过两步完成展平:1)不计应力展为平面;2)在展平平面上释放应力。

将膜曲面离散成有限个节点,然后根据拓扑关系将曲面划分网格,单元数为m,节点数为n。设第j单元,始端节点为i,终端节点为i+1,单元坐标差uj=xi+1-xi,vj=yi+1-yi,wj=zi+1-zi。

找形完成之后的初始膜面不是光滑的双曲抛物面,该初始面是由曲面上的空间三角形折板面拼接而成的空间折板面。曲面拟合法是利用分段近似的方法来拟合局部曲面,最终得到膜曲面上的裁切线[9]。整个裁切线求解的过程经过两次曲面拟合,通过最小二乘法得到局部曲面方程。

第一次曲面拟合是以内插点为球心、两端点距离的一半为半径做球,利用球内离散点进行拟合。

第二次曲面拟合主要是拟合单元附近曲面,以测地线单元中点为球心、5倍单元长度为半径做球,得到单元附近曲面方程,将部分划分所得的有限元网格线直接转化成裁切线。

采用非线性有限元法[10,11,12,13]展平膜片的首要步骤是确定初始展开参考平面,不同初始展开参考平面的三角形单元几何尺寸不相同,这就导致了膜片展平速度与精度也不相同。本文以找形前几何平面和找形后投影平面两种参考平面为例,说明初始参考平面对展平速度与精度的影响。

假设离散后的空间曲面为T1,对应的展开平面为T2(图1)。T1和T2有相同的单元数和节点数,T1内的节点i坐标为(Xi1,Yi1,Zi1),线段j长度为lj1;T2上节点i的坐标为(xi,yi),线段j长度为lj。T2确定以后,空间三角形与平面三角形各边的差值{δ}=δ1δ2δ3{}。

任意三角形单元{εe}={εxεyγxy}t,如图2a所示,三角形各边的长度为l1,l2,l3,单元边线应变为{εl}={ε1ε2ε3}t,内力为{Tl}={T1T2T3}t。三角形单元的线应变与单元应变之间的关系表示为:

式中:θi为局部坐标x轴与边线i的夹角,边线l1,l2,l3与局部坐标x轴夹角分别为180°-γ,180°+β,0°(图2b)。

三角形单元、各边的应变和单元应变可以表示为:

式中:[B]为式(2a)矩阵的逆矩阵;δi为各边的伸长量;li为初始长度。

由胡克定律,可知单元应力为{σ}=[D][B][εl],那么单元各边线的内力为:

式中:[Kl]为单元弹性刚度矩阵。

由于假设膜片各处厚度相等,且展平过程中厚度没有变化;单元的材料为均质膜材,那么矩阵[D]中的元素就是常量,并且对于常应变三角形单元,[B]矩阵中的元素也是常量,那么整体坐标系下的单元刚度矩阵[K]可表示为:

式中:[K]e为分块矩阵。

对于平面应力问题,任一三角形单元分块矩阵[K]e表示在节点s(s=i,j,m)处产生单位位移时,在节点r(r=i,j,m)上所需要施加节点力的大小。

其中bi=yj-ym,ci=xj-xm;

式中:t为膜厚;Δ为三角形单元的面积。

不计预应力展开时,E、ν可以不使用真实的材料属性,实际计算中取小弹性模量,从而膜面自由变形。单元各边的内力等效为整体坐标系下的节点力表示为:

式中:{ξ}为节点位移矩阵。

对于不可展曲面,如果平面三角形与曲面三角形各边尺寸足够接近,单元等效节点力{P}e足够小,便可认为空间曲面已近似展开。按照上述展平理论描述,膜片展平流程如图3所示。

马鞍形张拉膜结构如图4,结构的4个角点是固定的,对角线长度为l=5 m,高度h=2.5 m,膜面初始预应力2kN/m,张拉刚度255kN/m。

由于结构具有对称性,并考虑实际膜材宽度,本文只分析了一半结构的裁剪。将膜曲面划分为5片,故需要布置4条裁剪线,取膜片A,膜片B,膜片C进行展平分析。展平过程中选择找形之前的初始几何平面和找形之后的投影平面作为初始参考平面。

按照本文的方法将膜片分两步展平后,对比两种不同参考平面情况中,膜片A、B、C应力释放前后的面积差;选取三片膜片上3个点,研究了膜片展平过程中应力释放的迭代次数,结果如表1所示。

以几何平面为初始参考平面,经过迭代计算后展平,展开平面膜片总面积为13.005 2 m2,网格线总长439.033 m,与空间膜面总面积13.005 7 m2相差0.000 5 m2,面积残余0.004%,与空间网格线总长439.094 m相差0.061 m,再经过450次迭代计算实现膜面应力释放;而以找形后投影平面为初始展开平面,则经过230次迭代计算后,达到预定精度,展开平面膜片总面积为13.002 9 m2,网格线总长438.988 m,与空间膜面总面积13.005 7 m2相差0.002 8 m2,面积残余0.02%,与空间网格线总长439.094 m相差0.106 m,后经过440次迭代计算实现膜面应力释放。几何平面为初始展开平面的膜片展平精度较高,而以投影平面为初始展开平面的收敛速度较快。选用以几何平面为初始展开平面的展平膜片作为最终下料图,膜片总面积为12.847 0 m2。

六边形帐篷形膜结构如图7,顶部直径为1 m,底部外接与一个半径为5 m的圆,膜结构的顶部与底部垂直距离h=3.5 m,每个角点与顶部都有脊索连接,膜面的初始预应力设计值2kN/m,张拉刚度255kN/m,脊索预应力5kN,边索10kN。找形结束后,空间膜面总面积66.296 4 m2。膜结构的正视图、俯视图如图7所示。

由于结构对称性,展平时取结构的1/12 (图8a)进行展平,通过网格线法将取出部分分成不等的两份,膜片Ⅰ和膜片Ⅱ,经过不计应力展平和应力释放获得结构的下料图(图8b)。

采用本文展平方法,以不同初始展开平面,分为不计应力展平和应力释放两步,获得的膜片展平结果如表2所示。以找形前几何平面为初始展开平面,经过1600次迭代计算以后,膜片不计应力展平,展平平面总面积为66.303 1 m2,与展平之前空间总面积66.296 4 m2相差0.006 7 m2,面积残余0.01%,网格线总长895.38 m,与空间网格线总长895.416 m相差0.036 m;而以找形后投影平面为初始展开平面,经过1400次迭代计算以后,膜片在不计应力情况下实现展平,展平平面总面积为66.289 2 m2,与展平之前空间总面积66.296 4 m2相差0.007 2 m2,面积残余0.01%,网格线总长895.356 m,与空间网格线总长895.416 m相差0.06 m。可见以几何平面为展开参考平面,膜片展平计算精度较高,但收敛速度稍慢。

裁剪设计是膜结构设计中必不可少的阶段,裁切和展平结果的好坏直接关系到膜结构施工后的膜面形状及应力分布,对膜结构使用过程中的承载能力和褶皱问题将产生一定影响。本文利用网格线法在找形基础上产生空间裁切线,把分割后空间曲面的展开看成一个弹塑性力学问题,不仅考虑了膜材的材料属性,同时减小了计算量,提高了计算精度。通过MATLAB编制相应的迭代程序,把空间曲面展开成平面并将膜面初始预张力释放形成最终的下料图。最后通过两个实例,证明了此展平方法的有效性、准确性和高效性。