膜结构是一种以织物膜材和索作为主要受力构件的新型张力结构形式。由于膜材和索本身不具有抗弯刚度, 因此必须依靠施加预张力来维持结构形状、抵抗外荷载的作用, 这就引出膜结构“形态”的概念。“形”指结构的形状, “态”则指结构处于某一形状时的应力分布状态, 在边界条件一定的情况下, 这两者是一一对应的, 共称为“形态”[1]。形态的选择不仅关系到膜结构的美观和实用, 更直接影响到它的力学性能和安全。但目前在膜结构的设计中, 往往只是根据建筑师的造型建议对形态进行大致确定, 而对于该方案在力学性能上是否较优的问题关注较少。虽然结构设计人员在设计中也会进行一些方案比选, 但该过程往往依赖于设计者的经验, 缺乏明确的概念指导。如果能够结合膜结构的力学特点, 对其形态进行优化分析, 解答“什么样的膜结构形态是较优的”这一问题, 不仅可以为结构的概念设计提供依据, 而且可以为建筑造型提供参考。

优化研究的一般思路是:①首先提出优化目标并采用某种数量形式对目标进行描述。这是形态优化的核心内容, 优化目标反映了对形态的评价标准, 它的数量描述形式能否真实地反映问题的本质则直接关系到优化的效果;②确定优化变量及其各种约束条件, 也就是给出问题的解空间;③通过以上两步即形成优化模型, 最后选用适当的优化算法对该模型进行求解。

近年来, 一些学者已采用上述思路对建筑膜结构的形态优化展开了研究。Sindel F、Nour_Baranger T[2]以刚度最大为目标对膜结构进行优化并采用各节点位移之和对刚度进行描述, 以索预张力等参数为优化变量, 采用共轭梯度法求解;日本学者Uetani K、Fujii E等[3]以结构形状最接近预定的形状为优化目标, 以膜预张力在两个方向上的比值为优化变量, 并给出变量和优化目标之间的函数表达式, 采用求导数取极值的方法来求解;国内学者钱基宏[4]以刚度最大为优化目标, 采用应变能对刚度进行描述, 以单元应力为优化变量, 并通过基于敏感度的方法来求得最优。从优化目标来看, 以上工作主要还局限于膜结构的单目标优化, 但在研究和设计中, 往往需要同时考虑多方面性能在某种意义下的最优问题, 即多目标优化;从优化算法来看, 上述文献采用的方法都属于非线性规划法, 这类方法往往需要目标函数的导数值等其他辅助信息才能确定搜索方向, 且易陷入局部最优解。

在总结以往工作的基础上文献[1]提出了膜结构多目标形态优化的框架, 并采用遗传算法作为求解方法。延用这一研究框架, 本文建立了膜结构形态优化的具体目标, 力求更恰当的对膜结构的力学特性进行刻化;同时, 对各目标函数的描述形式进行了研究, 重点探讨了用于描述刚度的三种物理量所包含的力学概念, 从而选择能反映膜结构刚度本质的数量指标;最后, 联合线性加权法和遗传算法对优化问题进行求解, 保证了优化的精度和效率。

建立目标函数, 就是确定评价膜结构形态优劣的标准并形成数量表达形式。根据膜结构的力学特点, 并结合实际工程经验可知, 对膜结构形态的评价应包括三方面:①刚度。膜结构是典型的柔性结构, 在设计中刚度通常起控制作用, 刚度不足会使结构在荷载作用下产生褶皱、积雪、积水等问题, 危及结构的安全;在风荷载作用下, 刚度较低的膜面还会发生大幅度的振动, 致使结构破坏;②在荷载作用下应力分布的均匀程度。这是出于两方面的考虑:一是使各个膜片的强度都得到充分的发挥, 二是避免由应力集中引起的膜面撕裂;③对边缘构件的作用力。膜结构通常支承在下部钢结构上或直接与地锚相连, 过大的支座反力往往会导致下部承重结构或基础的费用增加, 因此要尽量减小膜结构给下部结构和地基的负担, 以减小施工难度和工程造价。依据上述分析, 本文确定膜结构形态优化的多目标为:刚度最大, 荷载作用下应力分布最均匀以及支座反力最小。以下探讨各目标函数的具体表达形式。

对于刚度的描述可以采用应变能、最大位移或平均位移等多种方式。由于膜结构属多自由度的几何非线性体系, 以上几种描述方式所得到的优化结果也不尽相同。

应变能是指结构因弹性变形而储存的能量, 直接反映结构的整体刚度。通过使应变能最小可以获得刚度最大的结构[4,5,6]。

膜结构的应变能表达式为:

U膜为由外荷载引起的膜的应变能:

式中:σ0为膜材初始预应力;Δε、Δσ为由荷载引起的应变、应力增量;D为膜材弹性模量矩阵。

U索是由外荷载引起的索的应变能, 与式 (2) 类似:

式中:T0为索的初始预拉力;ΔT为由荷载引起的索力增量;EA为索的抗拉刚度。

可以看出, 对于膜结构, 应变能同时包括对膜和索的受力状态的描述 (分别为U膜和U索) , 而且它除了与变形大小有关外, 还与初始预应力有关。可见, 以应变能最小为优化目标可兼顾索和膜的形态, 且在寻求“刚度最大”的同时, 能对初始预应力的大小进行控制。

在结构设计和使用中, 人们往往最关心结构的最大位移。最大位移较之应变能也更为直观, 更易于提取, 因此成为一个较常用的刚度指标:

但从优化分析的角度讲, 这个指标存在不足。实际上, 膜结构的最大位移一般都出现在膜片上, 相当于只考虑了膜片的变形, 不考虑索的形态, 也不包含对初始预应力的控制, 所以它近似等价于式 (2) 右侧的第二项 。因此, 当以最大位移为目标时, 可能会出现为了使膜面上的最大位移趋向最小而牺牲索的形态或者一味提高初始预应力的情况。

平均位移是指对结构上各点位移的矢量模取均值:

式中:uix、uiy、uiz为第i个节点的三个方向的位移分量;p为节点总数。

从表达式上看, 它包含了对结构整体变形的描述, 文献[1-2, 7]均采用了与之类似的描述函数。但对位移取平均值的做法缺乏明确的物理意义, 且易掩盖结构的局部缺陷。

总体来看, 以应变能、最大位移及平均位移作为“刚度最大”的目标函数都有其优势和不足, 但从力学概念和优化的意义上讲, 应变能要好于最大位移和平均位移。

应力分布的均匀与否是个相对概念, 本文以单元的最大主应力均方根与均值的比值作为目标函数, 并称之为应力波动系数, 应力波动系数越小代表应力分布越均匀:

式中:σi为第i个单元的最大主应力;m为单元总数。

在结构的多个支座中, 选取其中的最大支反力作为目标函数:

式中:Rix, Riy, Riz分别为第i个支座x, y, z方向的反力。

多目标优化问题的本质在于, 大多数情况下各子目标是相互冲突的, 即同时使所有目标达到最优是不可能的。因此, 解决多目标问题的最终手段是在各子目标之间进行协调权衡和折衷处理[8]。加权系数法正是这一思路的体现。该方法根据相对重要程度对各目标进行折衷, 并采用线形组合的形式将多目标优化问题转化为单目标问题:

式中:n为目标总数;fk (X) 为各分目标函数, 加权前需进行正则化以消除各目标函数在单位和数量级上地差异;ωk为重要性加权系数, 通常取为%ωk=1, 且ωk>0。

在实践中发现, 不合理的正则化方法会无意中加强或弱化一些目标, 导致重要性加权系数无法准确地体现目标的重要程度, 优化结果就会偏离期望。较好的正则化方法是利用下面的公式将各分目标函数值都转换为0~1范围内的无量纲值:

式中:αk、βk为目标函数fk在整个优化区域内的最大值、最小值;f’k为正则化后的目标函数, 则式 (8) 应写为:

显然, 多目标优化的结果并不是单个解, 而是一组均衡解, 即所谓的Pareto前沿。Pareto前沿的特点是不存在比这个解方案至少一个目标更好而其他目标不低劣的更好的解[8]。加权系数法实际上是从Pareto前沿中选择一个或几个方案作为最优解。下面以一个两个目标的优化问题为例说明加权系数法所得最优解的含义。

对于固定的加权系数ω1、ω2寻找最优解X使 取最小值。该方程的形式可变换成:

这相当于定义了一条直线l, 其斜率为-ω1/ω2, 在纵坐标上的截距为f (X) /ω2。使f (X) 最小就是使截距f (X) /ω2最小, 也就是说, 根据加权系数ω1、ω2求得的最优解, 即为斜率为-ω1/ω2的直线与Pareto前沿的切点 (图1) 。

通过调整加权系数可以获取满足决策者偏好的Pareto解。如需得到整个Pareto前沿, 改变加权系数进行多次计算即可。当然, 加权系数法也存在一定的缺点, 即对Pareto前沿的形状比较敏感, 处理前端的凹部有一定困难。但由于它计算效率高, 易于实现, 因此仍然百富策略白菜网较多。

遗传算法是模拟生物在自然环境中的遗传和进化过程而形成的一种自适应全局优化概率搜索算法[9]。它可以较好地改善局部最优解问题, 具有较快的收敛速度, 而且直接以目标函数值作为搜索信息, 不需要其他辅助信息。因此, 本文采用遗传算法, 并结合加权系数法及非线性有限元法来实现膜结构的多目标优化, 具体步骤为:

(1) 在优化区间内随机产生一组个体, 构成初始种群, 每一个体对应一组优化变量;

(2) 对种群中的每个个体采用有限元法进行找形分析和荷载分析, 求出个体的各目标函数值;

(3) 对各目标函数进行正则化。由于进化过程中, 特别是进化的初始阶段, 种群的分布基本涵盖了整个优化区域, 因此可以采用“进化到目前为止群体中出现过的最大值、最小值”来代替αk、βk进行正则化 (式 (9) ) 。正则化后, 将目标函数进行组合并转换成适应度eval:

适应度越大代表个体越好。但应注意, 由于不同代所取的αk、βk可能不同, 因此对不同代的个体进行比较时, 应取统一的最大值和最小值重新正则化。

(4) 对种群中的个体进行遗传运算 (包括交叉和变异) , 从而产生新的种群, 即后代;新一代的形成过程中, 根据适应度的大小选择部分后代, 淘汰部分后代, 适应度高的个体被选择的概率高;然后重复第2、3、4步。

(5) 经过若干代进化后, 种群内的个体开始保持稳定, 随进化的改变较小, 此时认为遗传计算已收敛, 输出结果。

在上述进化过程中, 关键的运行参数包括种群大小、交叉概率、变异概率和终止代数等。在参数设置合理的前提下, 可以保证遗传算法的收敛性和准确性。

在上述工作的基础上, 编制了以线性加权法、遗传算法及非线性有限元法为内核的膜结构多目标形态优化程序, 并通过算例分析对本文的理论和方法进行进一步研究和验证。

对伞形膜结构进行多目标形态优化, 以应变能最小 (minf1) 和支反力最小 (minf2) 为优化目标, 旨在验证本文优化算法的正确性和有效性。

伞形膜结构如图2所示, 边界为刚性直线边界, 沿对角线布置脊索, 并根据构造要求在伞的顶端开洞, 洞口半径r=0.4 m。其他基本参数:边长a=12 m, 膜预张力2.0 k N/m, 结构受竖向均布荷载q=0.3 k N/m2, 膜材经纬向的抗拉刚度为Ext=Eyt=1000.0 k N/m, 泊松比为0.2, 抗剪刚度为Gxyt=120.0 k N/m, 膜材厚度为t=1 mm, 索的抗拉刚度EA=6.28×104k N。

以脊索预拉力 (T) 和高跨比 (H/L) 为优化变量 (L为对角线长度) , 优化区间为8 k N≤T≤34 k N, 1/4.25≤H/L≤1/1.55;加权系数分别取ω1∶ω2=0.5∶0.5, ω1∶ω2=0.7∶0.3;遗传算法运行参数的设置见表1。

图3给出了种群平均适应度在遗传运算中的进化情况。可以看到, 在计算初始阶段, 适应度随着进化显著减小, 之后逐渐趋于平稳, 计算收敛。提取最优解列于表2。为验证优化结果, 本文预先通过细致的参数分析得到该优化问题的Pareto前沿 (见图4) , 经比较发现优化结果与参数分析所显示的切点基本吻合, 说明该优化算法及相应程序是正确可靠的, 本算例设定的遗传算法参数是合理的。

仍以伞形膜结构为例, 分别以应变能、最大竖向位移、平均位移为目标函数进行单目标优化, 从而比较刚度的这三种描述形式对优化结果的影响, 以选择其中较合理的函数形式来表述刚度。

计算模型:结构受竖向均布荷载q=0.5 k N/m2, 膜材经纬向的抗拉刚度为Ext=Eyt=1400.0 k N/m, 泊松比为0.4, 抗剪刚度为Gxyt=500.0 k N/m, 其他参数同4.1节。

以脊索预拉力 (T) 和高跨比 (H/L) 为优化变量 (L为对角线长度) , 优化区间为10 k N≤T≤35 k N, 1/4.25≤H/L≤1/1.7;优化结果见表3和图5。

比较各目标函数的优化结果 (表3) 发现:应变能和最大竖向位移的结果在高跨比方面比较接近, 但应变能的脊索预拉力是在优化区域上下限之间, 而最大竖向位移的脊索预拉力则趋近上限。根据参数分析 (图6) 可知, 随着脊索预拉力的增大, 结构的应变能和最大竖向位移都呈现先减小后增大的趋势, 这是因为脊索预拉力的增大增强了膜片边界的刚度, 同时降低了膜片曲率, 这两方面影响的相对强弱导致了刚度的变化趋势出现转折点。值得注意的是, 应变能的转折点总是比最大竖向位移的转折点所对应的脊索预拉力小, 且高跨比越大这个差距也就越大。这是因为应变能考虑了索预拉力的影响项, 而最大竖向位移对脊索预拉力并没有直接的考虑。进一步计算表明, 如果增大优化区间的上限, 最大竖向位移的优化结果就会趋向于高跨比最大和脊索预拉力最大, 失去了优化的实际意义。

平均位移的结果与前两者差距较大, 且在顶部出现了明显的“颈缩”现象 (见图5c) , 可见采用平均位移来描述结构刚度是存在缺陷的。为了说明这个问题, 这里给出脊索预拉力为12.6 k N时, 各目标函数随顶点高度的变化趋势 (图7) 。如图7所示, 随着高度的增加, 应变能和最大竖向位移都是先减小后增大, 且都是在H=7 m时出现转折点, 而平均位移则整体呈下降趋势。研究发现, H=7 m的点恰好是伞形开始产生“颈缩”的点, 随高度增加, “颈缩”现象更加严重。而“颈缩”的产生恰好使得位于伞形顶点附近小位移区内的结点数增多, 从而使平均位移下降, 造成了刚度提高的假象。

根据本算例的分析可知, 较之最大位移和平均位移, 应变能更能反映膜结构刚度的本质, 优化结果也更为合理。

对伞形膜结构以“刚度最大 (应变能最小) ”、“荷载作用下应力分布最均匀”及“支座反力最小”为目标进行多目标优化。结构基本参数同4.2节, 优化区间为:10 k N≤T≤28 k N, 1/4≤H/L≤1;加权系数取1/3∶1/3∶1/3。优化结果列于表4, 为了比较多目标与单目标的优化效果, 表4同时给出了单目标的优化结果。

可见, 单目标优化通常在提高结构某一力学性能的同时忽略了结构的其他性能, 而多目标优化可以通过设置重要性加权系数在各分目标间进行协调, 从而使结构各方面的力学性能都达到较好的水平。从结构的外观效果来看 (图8) , 多目标优化得到的形状也更符合人们的审美观。

本文针对膜结构的力学特点, 建立了以“刚度最大”、“荷载作用下应力分布最均匀”和“支座反力最小”为目标的膜结构多目标形态优化模型, 并对优化中的一些关键问题作了探讨和研究, 得到结论如下:

(1) 本文建立的优化模型能够真实地刻画膜结构形态优化问题的主要特征, 所采用的优化方法是可行的、有效的;

(2) 对于膜结构这种具有几何非线性的空间张力体系, 用于衡量刚度的指标不是唯一的, 不同的指标会得到不同的优化结果, 较之最大位移和平均位移, 应变能的力学概念最为清晰, 更能反映膜结构刚度的本质, 优化结果也更为合理;

(3) 联合加权系数法和遗传算法对多目标问题进行求解, 计算效率高、易于实现, 通过设置加权系数可得到各方面力学性能都满足要求的形态。