薄膜结构是张力结构中的一种, 是20世纪中期发展起来的一种新型大跨空间结构形式。它的诞生充分体现了建筑艺术和科学技术的完美结合。目前广泛百富策略白菜网的薄膜结构是张拉式膜结构, 它的基本组成单元为支承柱、张拉索和覆盖的膜材。在未施加预应力之前, 这种结构没有承载能力, 因此, 在给定初始预应力分布条件下获得结构的初始平衡形状也即“找形”就成为薄膜结构设计建造中不可缺少的一环。目前在张拉膜结构找形中百富策略白菜网比较广泛的有以下几种方法:动力松弛法、力密度法, 非线性有限元法[1,2]。

力密度法是将结构离散后, 利用各个节点都满足静力平衡的条件求解, 将非线性问题转换成线性方程, 大大简化了求解过程, 提高了运算速度, 并且该方法适用性很强, 具有很大优越性[3,4,5,6]。但力密度法引入了“力密度”的概念, 即杆内力与杆长之比, 模糊了传统的内力概念, 使得找形过程中难以把握结构的内力水平, 特别是对带柔性边界的薄膜结构[7]。因此在实际工程中对“力密度”取值必须多次试算才能最终确定。否则, 所找形状的内力水平较难保证与给定的设计内力相吻合, 导致膜结构服役期间膜材可能出现褶皱或撕裂, 这就使得找形过程低效而繁复。本文对力密度法进行改进:借助于动力松弛法的思想[8], 首先假定初始形状, 再直接引入膜面应力和索拉力作为初始条件, 据此建立了“力密度”与结构内力的定量关系。从而避免了传统力密度法繁复的试算过程, 简化了索膜结构找形的计算流程。

将膜结构离散成杆单元, 对于结构中某一节点i, 如图1[9]。

对该节点建立平衡平衡方程

∑eFeiLei(Xe−Xi)=Pi (1)∑eFeiLei(Xe-Xi)=Ρi(1)

式中:e为与i节点相关联的各个节点;Fei、Lei分别为与i节点相关联的杆单元的内力和长度;Xe、Xi为节点坐标向量;Pi为荷载列向量。

令力密度qei=FeiLeiqei=FeiLei, 则式 (1) 变换成

∑eqei(Xe−Xi)=Pi (2)∑eqei(Xe-Xi)=Ρi(2)

将所有节点按式 (2) 的形式列出平衡方程, 写成矩阵方程

DX=P (3)DX=Ρ(3)

式中:D为各杆单元力密度组成的整体力密度矩阵, 假设结构离散后有i个自由节点, j个约束节点, 则D=[DiiDjiDijDjj]D=[DiiDijDjiDjj];X为节点坐标向量, X={XiXj}X={XiXj};P为荷载列向量。

由于索膜结构找形过程中重力荷载可以忽略, 即认为P=0, 同时由式 (3) 第一个方程得

DiiXi=−DijXj (4)DiiXi=-DijXj(4)

求解Xi即可求得膜结构的初始形状, 同时Xi自动满足式 (3) 第二个方程。

将膜结构离散成m个三角形单元, 其中某一单元E如图2。

设膜面各方向的应力均为σ…, 即等应力膜面, 膜材厚度为t, 则三角形单元E的边线拉力Ti与σ的关系可以根据三角形膜面节点的平衡条件导出。以节点1为例, 分别沿图2边12、边13方向建立平衡方程, 有

[cosα111cosα1]{T2T3}=12σtsinα1{L2L3} (5)[cosα111cosα1]{Τ2Τ3}=12σtsinα1{L2L3}(5)

解得

T3=12σt(L2−L3cosα1)sinα1=12σtL1cosα3sinα1 =12σtL3cosα3sinα3=σtL32tanα3Τ3=12σt(L2-L3cosα1)sinα1=12σtL1cosα3sinα1=12σtL3cosα3sinα3=σtL32tanα3

同理得

Ti=σtLi2tanαi (6)Τi=σtLi2tanαi(6)

即该边力密度

qi=TiLi=σt2tanαi (7)而索单元力密度仍然按下式计算qi=TiLi (8)qi=ΤiLi=σt2tanαi(7)而索单元力密度仍然按下式计算qi=ΤiLi(8)

如果该结构处于平衡状态, 考虑单元E中的各个节点, 其在x方向上的不平衡力如下

F1x=T2L2(x3−x1)+T3L3(x2−x1)‚F2x=T3L3(x1−x2)+T1L(x3−x2)‚F3x=T1L1(x2−x3)+T2L2(x1−x3)F1x=Τ2L2(x3-x1)+Τ3L3(x2-x1)‚F2x=Τ3L3(x1-x2)+Τ1L(x3-x2)‚F3x=Τ1L1(x2-x3)+Τ2L2(x1-x3)

转换成矩阵形式, 同时利用式 (8) , 即 (在y、z方向同理可得以下方程)

−⎡⎣⎢q2+q3−q3−q2−q3q3+q1−q1−q2−q1q1+q2⎤⎦⎥⎧⎩⎨⎪⎪x1x2x3⎫⎭⎬⎪⎪=⎧⎩⎨⎪⎪F1xF2xF3x⎫⎭⎬⎪⎪ (9)-[q2+q3-q3-q2-q3q3+q1-q1-q2-q1q1+q2]{x1x2x3}={F1xF2xF3x}(9)

把上式记为:-Qexe=Fexxe, 其中Qe为单元力密度矩阵, xe为单元节点坐标向量, Fexxe为单元x向节点力向量。将单元力密度矩阵集成为结构的整体力密度矩阵D, 并考虑节点平衡F+P=0, 可得结构的整体平衡方程

Dx=P (10)Dx=Ρ(10)

式中P为外荷载向量, 在找形过程中为零向量。

根据以上理论, 可以按照如下步骤进行膜结构初始形状的计算。

1) 本文为了建立膜面应力 (通常由设计给定) 与“力密度”的定量关系, 以避免常规反复假定“力密度”试算的做法, 借用了动力松弛法找形的基本思想, 假定结构初始形状, 用三角形单元离散结构, 设定膜面应力σ和索拉力T。

2) 分别按式 (7) 、式 (8) 计算三角形膜单元和索单元各边力密度, 并组装整体力密度矩阵D。

3) 解方程式 (4) , 即可得到不等应力膜面。如果希望得到等应力曲面, 则需要重复步骤2, 即以求解方程式 (4) 后得到的曲面为基准, 按等应力情况计算节点不平衡力, 并以此作为收敛控制条件, 控制迭代次数, 最终可得到等应力曲面。

当然, 同动力松弛法, 所假定的初始几何与找到的平衡曲面愈接近找形精度愈高。但如果假定形状与初始平衡曲面有较大差距, 后面的算例可以看出, 在保证一定收敛精度的前提下, 通过增加迭代次数, 仍可找到等应力平衡曲面, 即验证了本文计算方法的稳定性。

算例1 马鞍面膜结构平面尺寸10m×10m, 初始形状及网格划分如图3 (a) , 按等应力膜面找形, 应力取1kN/m, 边界为固定约束, 找形后形状如图3 (b) 。该膜结构膜面的理论解析解为z=x220−y220[2]z=x220-y220[2]。本算例为考查迭代次数与找形误差的关系, 故未设定收敛标准。图4是迭代5次后结构中心点的数值解与理论解比较, 最终误差在0.4%以内。

算例2 等应力悬链面膜结构的解析方程为[10]

z=h−b[In(r+r2−b2−−−−−−√)−Inb]z=h-b[Ιn(r+r2-b2)-Ιnb]

在本算例中, b=10m, h=17.627m, r则在10m～30m之间, 边界条件为上下环边固定约束, 如图5 (a) 。等应力膜面找形, 应力取kN/m, 控制误差0.01kN, 最终迭代5次, 找形后平衡形状为图5 (b) , 最终误差在0.4%以内。

算例3 带索边界的伞形膜结构, 如图6 (a) , 膜面等应力为1kN/m, 边索拉力和脊索拉力均为10kN, 控制误差0.01kN, 最终迭代56次, 找形后平衡形状为图6 (b) 。

算例4 图7 (a) (初始假定形状) 为工程中常见的双伞形膜结构。膜面等应力取1kN/m, 边索拉力和脊索拉力均为10kN, 控制误差0.01kN, 最终迭代2次, 找形结果见图7 (b) 。

前文已提到, 传统力密度法将膜面比拟成索网, 首先假定的是力密度值, 在膜面找形阶段中, 其初始条件无法直接给定膜面应力和拉索力, 需要在成形后根据假定的力密度值反算出各个单元的应力。因此工程师需要不断的调整整个结构的力密度分布, 反复计算才能够得到与建筑师给定的 (或比较接近) 的膜面。

当膜结构为固定边界时, 理论证明等力密度膜面的形状与等应力膜面的形状是相同的[1]。故对本文算例1、算例2, 采用传统力密度法进行找形时, 工程师可根据经验反复调整力密度取值, 最终总可以找到建筑师指定的等应力膜面 (本文算例等应力取) , 即传统力密度法所找到的等应力膜面与本文改进力密度法所找到的等应力膜面形状是相同的。区别仅在于传统力密度法需要反复调整力密度取值, 调整次数根据工程师经验而定, 计算效率不高。

但是大多数膜结构是柔性边界的, 索膜的力密度取值同找形后的结构状态有着复杂的对应关系, 对于缺少膜结构设计经验的工程师而言, 调整力密度取值这种方法不容易掌握。例如对于本文算例3、算例4, 要求索力为10kN, 膜面应力为1kN/m。如果采用传统力密度法计算, 无法得知力密度应该取值多少, 工程师一般先给定索力密度值 (例如假定为1) , 而膜面力密度值通常根据索力与膜面应力的比例关系而定 (本文算例为10:1) , 即膜面力密度值为0.1, 则结构初始平衡状态如图8黑线条所示。如果采用本文改进力密度法, 根据初始已知条件 (索力为10kN, 膜面应力为1kN/m) , 分别按式 (7) 、式 (8) 即可计算出相应的三角形膜单元和索单元各边力密度值, 最终结构初始平衡状态如图8紫线条所示, 此时边索力严格为10kN, 而膜面应力为1kN/m。对比图8两种方法所得到的结构初始平衡态, 显然可知传统力密度法用于柔性边界的膜结构找形时, 所找到的形状不能完全满足建筑师的要求。原因在于传统方法根据初始给定条件无法准确给出膜面与边索的力密度取值, 只能反复“试凑”。

1) 本算法直接设定膜面应力和索拉力, 以节点不平衡力作为控制误差, 避免了传统力密度算法繁复的试算过程, 使找形过程的力学概念更加清晰, 计算流程更为简洁、高效、准确。

2) 该算法精度高。在存在解析解的算例1、算例2中, 控制误差为膜面应力的1%时, 位移数值解与理论解的误差不超过0.4%。

3) 该算法普适性良好。无论是经典算例还是实际工程, 包括刚性边界和柔性边界, 均能得出理想的找形结果。

4) 后期迭代很难进一步提高算法精度。例如在算例1中, 第3、第4、第5次迭代计算结果很接近, 并不像从第2次到第3次迭代之间, 精度提高很多。因此, 盲目提高精度容易导致算法耗时的增加。