薄膜结构可分为充气式和张拉式两类[1].充气式膜结构依靠膜内外气压差成形并能够承受外荷载, 又有气承式和气枕式两种形式.所谓气承式是直接向膜材所覆盖的封闭使用空间内注入一定压力空气使之成形;而气枕式是向封闭气枕内充入一定压力的气体, 以形成具有一定刚度和形状的构件, 再由多个这种构件相互连接形成使用空间[2,3,4].对于气枕式充气膜结构, 需通过形态分析得到结构的几何形状和对应的应力分布状态, 再进行荷载分析[5].本文进行气枕式充气膜结构的形态分析和外荷载作用下气枕的变形与内压变化情况.

由于充气膜的具体空间形状无法事先确定, 只能给出平面形状及某些控制点的高度;同时膜内的应力分布状态不能预先确定, 故气枕工作状态时的形与态均是未知的, 且无法同时求解得到[6].本文认为其形态分析可采用先找形后找态的分析方法, 即首先对平面位置膜材的内表面施加沿外法线方向不断增加的气压力, 使结构产生变形, 达到满足建筑功能要求的形状, 此过程称为找形[7].需要注意的是, 在此过程中膜材一般会产生大变形, 膜内气压力和膜面应力均处于与实际情况不符的高应力状态, 在此状态下进行后续的受力分析和裁剪分析将不能得到准确的结果.故须在保持结构形状不变的前提下, 确定正常工作气压时的膜内应力状态, 即找态.在利用有限元方法分析气枕式充气膜结构时, 首先在平面状态建立膜单元模型, 约束其边界, 在表面上施加沿外法线方向气压力, 直至气枕变形后的控制点矢高达到规定范围, 然后将变形后的气枕位置记录下并清空膜内的应力完成找形计算.在找形的基础上施加规定的工作压力并将此时的膜单元弹性模量设置一超大的有限值, 即可得到在工作压力下膜单元的应力分布情况并将其纪录下来.将此应力状态及与之对应的工作压力施加回找形分析得到的几何模型上, 并将膜材的材料属性改为真实值后即可进行后续的荷载分析.

本文出一半球状气枕的形态分析过程.球体薄壁压力容器的应力状态满足下式:

式中:σ为球面内应力, t为球体厚度, p为球体内部均布压力, r为球体半径.现假设半径为4 m, 厚度为0.001 m的半球内部作用550 Pa气压, 则球面应力为σ=1.1×106 N/m2.

采用ANSYS软件进行分析, 并选择无抗弯刚度的三角形Shell181单元来模拟膜单元并约束其边界 (图1) .初应力态下, 在表面上施加沿外法方向不断增加的均布压力 (图2) , 将膜面“吹起”.计算表明内压增至7800 Pa时, 得到的气枕矢高 (最高点高度) 为4000 m的半球面 (图3) .

在找形过程中, 由于膜材在非工作压力作用下产生了较大变形, 膜内应力很大 (第一主应力达6.47 MPa) , 这与实际情况不符 (因为真实的气枕式充气膜结构并不是由平面膜材直接充气得到的) , 故还需确定该形状在真实工作内压 (取550 Pa) 下膜内应力状态.具体步骤是, 先将膜材的弹性模量增至超大 (取 9×1014 Pa) , 保证模型在550 Pa的工作内压下的位移足够小 (最大值<10-5m) , 即结构的几何形状基本保持不变而同时得到膜面在此内压下的应力分布状态.其中绝大部分单元的第一主应力分布 (图4) 在1.102 ～1.206 MPa, 其最大误差为理论值的9.6%.数值分析的球面实际上是连续折面, 与理论解相比, 数值分析结果存在一定误差是必然的.通过增加单元数量可以提高计算精度, 但无法完全消除误差.由此可见, 采用文中提出的方法对气枕式充气膜结构进行形态分析, 能满足正确性和精度要求.

国家游泳中心[8]采用了气枕式充气膜结构, 其基本单元的投影平面为不规则六边形 (图5) , 最大跨度8.7 m, 材料常数E=900 MPa, μ=0.47, 厚度0.001 m.现给出一基本单元的形态分析过程.在平面位置两层膜面的上下内表面分别施加沿外法方向不断增加的均布压力, 将气枕“吹起”.计算表明内压增至950 Pa时, 得到的气枕矢高 (最高点高度) 为0.720 m (图6) , 满足工程中常用的L/12～L/15 (L为气枕的最大跨度8.4 m) 矢高要求.为确定该形状在550 Pa内压下膜内应力状态, 将膜材的弹性模量增至超大 (这里取9×1014Pa) , 在其几何形状基本保持不变 (最大位移<10-5m) 的前提下得到膜面在真实工作内压下的应力分布状态 (图7) , 此时上下膜面的最大主应力均为3.21 MPa.

需要注意的是, 形态分析模型的初始形状本应为无预应力平面, 但由于该状态不能抵抗任何面外荷载, 找形分析的初始阶段极易发散, 为此在实际计算中给膜面施加了一定的初应力, 使其具有抵抗面外荷载的初始刚度[9].

由形态分析所得到满足功能要求的结构形状和真实应力状态后, 即可进行荷载分析以便校核结构的安全性.设膜内气压为p、体积为V、温度为T, 其受力过程可以认为是绝热变化过程, 故膜内气体应满足:

式中:为气体分子数, R为摩尔气体常数, C为常数[10].

利用数值方法对气枕进行受力分析时, 将找形分析得到的几何模型和找态分析得到的工作内压下的膜内应力分布作为初始状态, 当气枕表面受到外荷载作用时, 膜面产生变形, 由此可计算得到变形后的气枕体积, 而后根据理想气体状态方程得到此刻的气枕内压力;将此压力代替初始内压, 并据此内压计算得到膜内应力, 同时校核气枕在内压、膜应力及外荷载作用下的不平衡力, 若不平衡力的大小能满足收敛精度的要求, 则停止计算, 否则按上述步骤迭代计算直至满足精度要求.

现以1.1中经形态分析得到的半球状气枕为例验证荷载分析的有效性.设内压550 Pa的半球状气枕外表面施加沿内法线方向400 Pa的均布荷载, 则其受力状态与内压为550-400=150 Pa的半球状气枕等效, 此状态下膜内应力的理论值仍可根据式 (1) 得到, 即:σ=0.3×106, N/m2.

初始状态的半球体气枕体积为142.711m3, 则膜内气体常数C=78491.050 Pa·m3.利用有限元进行充气式气枕荷载分析时, 在球体外表面施加沿内法线方向的400 Pa均布荷载, 计算得到膜面沿内法线方向的位移, 进而得到气枕在变形后的体积, 记为Vt;由气体常数C得此时气枕的内部压力pt=CVtpt=CVt.为降低不平衡力值以减少迭代次数, 将此时膜内压力值pt与初始状态的膜内压力值p0插值得到p1=(pt+p0)2p1=(pt+p0)2, 再将p1施加回膜内表面重新计算气枕的变形;重复如上步骤, 直至气枕位移容差满足计算精度要求.

计算完成后控制结点的位移为0.001 m, 体积变为142.581 m3, 半球内压增大到550.35 Pa.半球面绝大部分单元的第一主应力分布在0.322 ～0.368 MPa, 所得结果与理论值相比, 其最大误差为理论值的22.67%, 但绝大部分球面单元的主应力为0.322 MPa, 其误差为理论值的7.33%, 计算误差较大的单元在半球体的边界位置, 见图8;这是因为半球体在沿内法线方向的均布荷载作用下, 若边界可发生移动, 则仍可保持半球状不变 (理想状态下) , 但由于球体边界部位受到约束作用不发生变形, 因此, 边界附近的单元应力有所增长.由此可见本文的受力分析方法是正确可行的.

基于1.2形态分析得到的国家游泳中心气枕模型, 其内部气体同样满足理想气体状态方程 (2) .当气枕表面受到外部荷载作用时, 气枕体积将发生变化;计算中先将气枕沿初始状态的对称面分为两部分, 荷载作用时, 先根据平衡方程求初始内压状态下结构的变形及上部分气枕变形后的体积Vup, 1, 则变形后的压力由状态方程得

将计算得到的上部气压传递到下部气枕来模拟压力的变化, 假定此时整个气枕的内压为

pt,1=pup,1+p02. (4)pt,1=pup,1+p02.(4)

其中:p0为下半部分气压值, 即原始内压值.

将该气压值作为气枕变形后的内部压力pt, 1同时施加到气枕的上下表面, 计算上下膜的变形及变形后气枕的体积Vt, 2, 再由状态方程得到此时的内压力为:

再将内压pt, 2施加到气枕的上表面和下表面进行迭代计算, 直到位移容差满足精度要求.经形态分析可得, 国家游泳中心的气枕初始体积为37.720 m3, 在550 Pa内压下此时膜内气体常数C为20746.000 Pa·m3.为确定气枕在不同荷载形式下的变形情况, 下面给出气枕在集中荷载和均布荷载作用下的受力分析过程.

例:均布向上荷载作用气枕受力分析

在上膜外表面施加均布向上作用的荷载400 Pa时, 上表面最大位移为0.003 m;下表面最大位移为0.0003 m, 其变形情况如图9所示.此时内压为483.832 Pa, 比找形状态减少了77.168 Pa;体积变为42.956 m3, 比找形状态增加了5.236 m3.上下表面应力分布见图10、图11所示, 其中上表面最大应力为4.10 MPa, 下表面的最大应力为3.12 MPa.

当幅值相同的荷载垂直于膜面向上作用时, 荷载与内压的方向一致, 对上表面起到加载的作用, 使上表面主应力增大, 膜上表面向上运动, 气枕的体积变大内压降低, 对下表面起到卸载的作用, 使其主应力值减少.与垂直向下作用的荷载相比, 由于非线性效应的影响, 造成荷载垂直向上作用时其上表面的平均应力增量较小.可见与传统的线性结构计算相比, 大小相等而方向相反的作用力在柔性结构中产生的应力状态是不同的.

1) 采用先找形后找态的方法可以确定气枕式充气膜结构在不同工作荷载作用下气枕的平衡态, 并且在找形分析的基础上得到的态满足工程精确要求.

2) 假定气枕内部气体满足理想气体状态方程, 则可以考虑外部荷载作用于充气膜之上, 充气膜结构上下表面随内部气压变化而变形的情况, 同时求解误差亦满足工程精度要求.

3) 形态分析虽然可以用来计算静力荷载作用下平衡后充气膜的变形、膜内应力分布和气枕内压, 却无法捕捉膜材变形的细节信息, 因此可以采用显式准静态的方法处理充气薄膜结构的充气与受力问题.