薄膜结构是一种柔性结构体系, 本身不具有承载力, 其刚度由结构的几何曲面和预应力来提供。在给定的边界条件下, 所施加的预应力系统的分布和大小同所形成的结构初始形状是相互联系的。只有膜面受到充分张拉, 施加适当的预应力且没有褶皱的条件下才能抵抗风、雪、雨等荷载。膜结构的初始设计是形状解析, 即在某一边界条件下, 什么样的形状才是具有承载力的形状, 合理地确定这一初始形状和相应的自平衡预应力系统, 称为找形。初始形状确定是薄膜结构设计中至关重要的一步, 也是设计中的一个难点。

有限元平衡迭代找形方法基于充气膜结构非线性有限元分析理论, 结合有限元程序的迭代计算过程, 采用小弹性模量迭代, 然后还原弹性模量, 释放温度应力, 达到所需要的初始几何形状。

有限元平衡迭代法找形分析采用小弹性模量自平衡迭代找形。该平衡迭代过程实际上是使充气结构形态确定由数学过程转化为力学过程。由于几何形状确定完全是静力平衡问题, 与结构材料性能模量没有关系。小弹性模量法即在实用计算中常常将弹性模量取的很小, 为实际值的1/1 000～1/100。采用小弹性模量法, 使得初始位形向目标位形过渡过程中产生的附加应力很小, 可以忽略不计, 因此, 最终得到的目标曲面便可以保持初始设定的预应力状态。同时, 在非线性求解过程中, 小弹性模量对有限元迭代计算中加强收敛具有明显作用。

有限元平衡迭代法找形分析计算有两种:从初始几何开始迭代和从平面状态开始迭代, 两种算法均需要给定初始预应力的分布及数值。从初始几何开始迭代方法只有所选用的初始几何非常接近平衡状态, 计算迭代时才能收敛。由于初始几何形状的选择很困难, 所以从平面状态开始迭代要比从初始几何开始迭代找形有效。有限元平衡迭代找形分析, 通常采用小杨氏模量, 外荷载在此阶段忽略, 不需要考虑。在建立膜结构有限元分析的基本方程时考虑局部坐标系下z轴方向位移w的影响, 即在局部坐标系下的应变非线性表达式中就要体现z方向位移的影响。因为膜结构是柔性张拉结构, 只能通过大位移引起膜面内力重分布来承受荷载, 在每一个荷载增量步中也要考虑z方向的位移, 不然每个单元静力是不平衡的。

从几何角度看, 膜单元的应变增量由线性增量和非线性增量共同组成:

Δ′{ε}=Δ′{e}+Δ′{η}。

从物理角度看, 膜单元在单元整体坐标系下应力增量与应变增量关系式为:

{Δσ}=[D]·{Δε}。

有限元迭代过程中, 第n迭代步的应力可以表示为:

σn=σn-1+Δσn。

若弹性模量为零, 则应力增量Δσ为零, 由上式可得:σn=σn-1, 这样膜材在找形过程中就能够保持恒定的初始应力, 同时得到了初始预应力分布下的几何形状。但在有限元找形迭代计算中, 若令弹性模量E=0, 常会导致某些具有复杂形态的结构其个别部位发生畸变, 尤其是在其曲率变化较大的部位, 因而取小弹性模量, 这样实际上是把膜看成柔性且能自由变形的材料, 具有加强边界索的膜结构, 对索也可以采用相同的处理方法。

膜结构初始形态迭代过程中由于形态更新后的结构位形相对于更新前的应力状态有变化, 但也不是一个平衡的几何形态。因此, 新的位形在初始预应力作用下必然产生一定的不平衡矢量 (力、位移) , 这样, 为了使得更新后的结构形态趋于真实平衡态, 即应力均匀的最小曲面, 那么必须进行更新后形态的自平衡迭代, 当不平衡矢量小于一定的较小数量时, 结构位形必将越来越趋近于真实结构形态。

在膜结构的初始形态分析中, 荷载迭代子步的设置对计算收敛有较大影响。膜结构预应力通过温度荷载来施加, 因此, 膜面预应力并非形成结构初始刚度矩阵的初始条件。当荷载子步划分过多时, 往往造成在第一荷载子步就难以收敛, 这是因为子步划分过多造成第一荷载子步内形成的应力刚度矩阵过小, 而膜面在没有产生应力刚化效应时抵抗外荷载效应能力很低。

充气膜结构初始形态分析在具体的计算过程中, 首先在合理的内压范围内选取内压、平面几何形状和初始预应力分布。结构从平面状态起步, 内压分步逐级的施加, 结构进行平衡迭代求解, 当内压达到所给定的数值时, 根据平衡条件求得的相应曲面几何形状就是初始形态分析所得到最后的几何形状。分析中最终的平衡状态为关键, 由假定的起始位置过渡到最终平衡曲面的中间过程并不重要, 因此计算过程中可以不考虑变形协调关系和材料的本构关系, 只需得到的预应力分布状态与初始设定的相符。

算例:充气薄膜结构平面形状为一边长20 m的正方形, 周边与刚性边界固定, 计算模型单元划分见图1。薄膜厚度t=0.4 mm, 经纬方向弹性模量及泊松比为Ex=Ey=1×109 N/m2, μx=μy=0.3, 设从平面状态起步进行迭代, 往里充气, 内压p=100 Pa, 分别进行一次施加 (单个荷载步10次迭代) 和分级逐步施加 (10个荷载步, 每个荷载步施加的内压分别增加10 Pa, 进行10次迭代) 。设定利用内压将薄膜充成一初应力为σ0=1.43×107 N/m2的充气结构 (见图2) 。在成型过程中弹性模量取值Ex=Ey=1×103 N/m2, 比真实值小106。

通过算例找形分析可以知道:

1) 膜面最小应力为σmin=1.425×107 N/m2, 最大应力为σmax=1.43×107 N/m2, 两者相差很小, 可以认为是应力均匀分布的最小曲面。

2) 空间曲面面积为S=523.16 m2, 而按理论求得的空间曲面面积为S=536.45 m2, 误差在2%以内。

3) 找形得到的膜面应力均匀分布, 膜面积在误差范围内, 可以认为有限元平衡迭代法找形结果正确、有效。

1) 找形过程中, 人们关心的总是结构最终的平衡状态, 至于中间的过程并不重要, 因此, 可以不考虑变形的协调方程和材料的本构关系。2) 充气膜结构的初始形态和内压, 膜预应力一一对应, 当内压或预应力发生变化时, 结构的形状同时发生变化。3) 按照材料强度、建筑外形, 合理地选取初始内压和预应力进行找形分析, 当形态不满足建筑要求或内压和预应力不满足接下来荷载分析的要求时, 需调整内压或预应力重新进行找形分析来满足要求。