力密度法百富策略白菜网于膜结构分析时建立的方程组如下:

其中, C为结构的拓扑矩阵;Q为力密度矩阵;Px, Py和Pz均为节点荷载, 具体推导详见文献[1][2]。随着结构网格划分的增加, 总结点数变大, 力密度法方程组阶数升高, 膜结构分析的最终问题就归结为大型线性方程组的求解上。C矩阵本身是含有大量零元素的稀疏矩阵, 并且本文通过推导证明, 该方程组具有对称正定的特点, 所以, 本文提出可利用其方程组的结构特性进行算法优化, 以提高计算程序的效率。

一般来说, 解线性方程组Ax=b有两种数值分析方法:1) 直接法。但直接法涉及到系数矩阵的分解, 当A为大型稀疏矩阵时, 因为所要求的分解因子是稠密的, 直接法的效率不高甚至难以实现。2) 迭代法。这类方法是生成近似解序列{x (k) }, 矩阵A只在矩阵向量乘法时才用到, 而稀疏矩阵的乘法已相当成熟。数值方法的一个基本原则是:求解任一问题都应利用其方程组的结构特性, 下面将介绍一种迭代解法——共轭梯度法, 其优点正好体现于求解稀疏、对称及正定的方程组的效率上。

根据式 (1) , 设任意n为向量p, 且力密度矩阵Q为对角矩阵, 其中对角元素q (i, i) >0, (i=1, n) , 则:

所以方程组系数矩阵 (CTQC) 为对称正定矩阵。

设A为对称正定, 定义函数φ(x)=12(Ax,x)−(b,x)φ(x)=12(Ax,x)-(b,x), 并求x∈Rn, 使φ (x) 最小, 按文献[4], 这是等价于求解方程组Ax=b的变分问题, 求解的方法是构造一个向量序列{x (k) }, 使φ (x (k) ) →minφ (x) 。

minφ (x) 最简单的方法是最速下降法。对当前点xc, φ (x) 在负梯度方向-∇φ (x) =b-Ax上下降最快。我们称rc=b-Axc为残量。如果残量非零, 则存在一正数α= (rTcrc) / (rTcArc) , 使得φ(xc+αrc)=φ(xc)−αrTcrc+12α2rTcArcφ(xc+αrc)=φ(xc)-αrcΤrc+12α2rcΤArc达到最小。最速下降法是可以保证收敛, 但却不能保证收敛速度。文献[4]中提出, 如果搜索方向{p1, …, pk}是A共轭的 (即是对所有的i≠j, 有pTiApj=0) , 则搜索方向是线性无关的, 且xk为以下公式的解minφ (x) (x∈x0+span{p1, …, pk}) , 就能保证最多n步就收敛到真解。而这种结合了最速下降法和A共轭搜索方向法优点的迭代方法就是共轭梯度法。

根据以上算法, 本文编制了相应的程序, 并进行了算例分析。

本算例为马鞍形膜结构, 采用矩形网格划分, 划分间距为0.5 m, 膜面预应力为1.0 kN/m, 膜网内部力密度值为1.0 kN/m, 边索力密度值为14.0 kN/m。结点总数为552, 其中4个为固定结点, 坐标分别为99 000 001 (12, 16, 4) , 99 000 002 (3, 10, 0) , 99 000 003 (12, 1, 4) , 99 000 004 (20, 9, 0) 。单元总数1 000, 其中“T”单元总数为128。

本文编制的程序计算迭代166次, 满足终止准则‖r‖2<1×e-6。图1, 图2分别给出结构网格划分、几何零状态时与找形后的平衡形状的对比, 表1, 表2分别给出了共轭梯度法和Gauss消去直接法的结点坐标计算结果及其计算耗时的比较。算例分析表明, 本文算法精度高、收敛快, 是求解力密度方程组的可靠、高效的数值分析方法, 为力密度法百富策略白菜网于大型膜结构分析奠定了坚实的基础。