膜结构属于轻质柔性结构，具有形式优美、自重轻、容易施工等特性，膜结构自从诞生以来飞速发展，在民用建筑、航空航天、工业建筑等领域得到广泛百富策略白菜网。膜结构表面张力可以抵抗外部载荷。张力一般由双曲面的曲率产生，可能相对较高。膜结构的形状是通过找形产生的，它决定了给定预应力下结构的平衡形状。因为面料幅宽一般是2-3米宽的，膜结构的建造必须将膜面分割为平面膜片进行组装，即裁剪膜片生成。裁剪分析的过程包括确定裁剪线，将膜表面划分为若干个子曲面，然后展平子曲面，最后对展平膜片进行应力补偿得到无应力膜片，即为裁剪下料图。

一般膜结构的表面是不可展曲面，因此不可能毫无偏差地将其转化为平面膜片。然而，裁剪膜片的精确度直接影响膜结构的建造。裁剪误差会导致实际建造形态与设计形态的偏差，继而影响膜结构的荷载分析精确度。此外，膜结构由于膜材幅宽的限制必然存在焊缝，焊缝通常由相邻膜条热合焊接而成。焊缝与单层膜的刚度不同，因此焊缝对膜结构的形状和应力分布必然产生影响。为了使建造形态在应力分布和形状方面达到与设计形式尽可能一致，优化裁剪膜片必须考虑焊缝的影响，特别是对于需要高精度成形的平流层飞艇和气膜钢筋混凝土结构的充气膜模板。

国内外常用的裁剪方法主要基于测地线[1,2,3]或者有限元网格线[4,5,6]进行膜片划分，优化裁剪尽可能减小最终平衡形态的应力与设计应力的误差。江锡虎[7]提出平面热应力的有限元方法，初始曲面的展开对应于消除热应力的过程。周树路，叶继红[8]改进了传统的膜结构设计过程，即加入了膜结构组装模拟成型的过程。王恒 [9]提出了一种基于三角离散的曲面求交和裁减算法。钱基宏，宋涛[10]提出了具有边界约束条件的膜曲面弹性展平最小变形能原理并建立了几何非线性有限元法求解展平平面。Tsubota and Yoshida等[11]将二维坐标系统中的边界结点作为控制变量，利用最优化法使最初平衡态的实际膜应力分布尽可能接近设计阶段的均匀应力分布。Yagi and Ohmori[12]提出了同时考虑平衡条件和初始形状的膜结构裁剪分析法。Kim and Lee[13]提出无需区分内外单元的几何非线性优化裁剪方法，将裁剪过程分为三步：初始裁剪，修正裁剪和优化裁剪。然而，现有的研究没有考虑到裁剪过程中焊缝的刚度，也没有考虑组装成型过程中搭接焊缝的影响。

本文提出了一种考虑焊缝影响的膜结构优化裁剪及组装分析的方法。通过将2维单元的节点坐标作为关键点，该方法基于初始裁剪膜片迭代进行几何非线性有限元分析得到优化裁剪膜片，然后进行膜片组装和平衡分析。在裁剪和组装平衡分析中考虑了焊缝的作用，以保证实际组装形态的形状最接近设计形状且得到真实应力状态。因为膜结构的建造中存在焊缝搭接，裁剪分析考虑焊缝影响的刚度保证以得到优化裁剪膜片，组装分析考虑焊缝的影响以模拟真实的建造过程。将焊缝模拟为索单元来考虑焊缝长度方向的影响，将膜单元的纬向模量修正来考虑焊缝宽度方向的影响[14]。通过三个经典算例（中国帽模型、充气球模型、鞍型模型），对该方法可行性和适用性进行了验证。

本文采用基于连续介质力学原理的有限元分析方法，以正交各向异性材料模型为前提。优化裁剪流程如图1所示，随后介绍具体步骤。

膜结构建造中需要用焊缝将相邻膜片连接起来。在裁剪及组装分析中，焊缝对应力分布的影响是显著的，特别是在焊缝密集的区域。因此，在结构分析中应该考虑焊缝区域的双层膜材刚度。针对热合焊缝，本文分别考虑了焊缝在其长度方向和宽度方向的影响。

在焊缝长度方向，将焊接区域的一层膜材模拟为索单元，另一层膜材保持膜单元。索单元截面由膜材厚度和焊缝宽度确定，索模量等效为膜材模量。在焊缝宽度方向，对相邻焊缝之间的焊缝作用区域里的膜单元（阴影部分）的纬向模量进行修正(图 2)，采用下列修正公式计算[14]。

E′f=2L2L−WsEfEf′=2L2L−WsEf（1）

其中：E'fEf'为修正膜材纬向模量；EfEf为膜材纬向模量；L为相邻焊缝之间的焊缝间距；WsWs为焊缝宽度。

若出现膜材经纬向与焊缝长度方向均不一致的情况，可对膜材经纬向模量进行坐标转换，这样索单元弹性参数取值为转换后的与焊缝长度方向一致的膜材模量，膜单元原纬向模量取值为转换后的与焊缝宽度方向一致的膜材模量。

[Dˉˉˉ]=[Tσ][D][Tσ]T[Dˉ]=[Tσ][D][Tσ]T（2）

[Dˉˉˉ][Dˉ]为偏轴方向的本构矩阵；[D][D]为弹性主轴方向的本构矩阵；[Tσ]=⎡⎣⎢⎢cos2θsin2θ12sin2θsin2θcos2θ−12sin2θ−sin2θsin2θcos2θ⎤⎦⎥⎥[Tσ]=[cos2θsin2θ−sin2θsin2θcos2θsin2θ12sin2θ−12sin2θcos2θ]为主偏轴间的应力转换矩阵。

本文在几何非线性有限元分析中，将膜结构离散为常应变三角形单元。

本文用直接投影法将子曲面转换为二维膜片，得到初始裁剪膜片。将子曲面上的膜单元节点的z坐标设置为零，并采用最小二乘法来减小投影过程产生的单元长度变化。此过程重复迭代，直到长度差在给定的收敛容限内。初始裁剪膜片的生成是几何展平，与材料性质无关。

膜结构是具有预张力的三维曲面，而膜材的裁剪下料图是无应力状态。因此，需要对展平所得到的初始裁剪膜片进行收缩处理，即应力补偿，以保证用平面裁剪片组装形成的膜曲面能产生预张力。本文在初始裁剪膜片的基础上，采用几何非线性有限元分析方法，迭代地进行膜片优化。

在膜片优化过程中，拉伸平面膜片的膜单元至找形曲面上膜单元的尺寸，拉伸平面膜片的模拟焊缝的索单元至找形曲面上的索单元长度。如图 3所示，将平面膜片中膜单元i- j节点的连线与相应的找形曲面上的膜单元的连线对齐，作为x轴来定义局部坐标系。根据局部坐标系中膜单元的边长，通过节点坐标来确定膜单元的节点位移。索单元的伸长量可直接由其在找形曲面和平面膜片的长度差得到。

膜单元的节点坐标定义为ae=[ai aj am]T=[0 0 uj 0 um vm]T=[ uj um vm]Tae=[aiajam]T=[00uj0umvm]T=[ujumvm]T，膜单元和索单元应力按式(3)计算，其单位均为kN/m。

{σM}(kN/m)=[D][B]{ae}{σC}(kN/m)=Ew⋅Δl/l{σM}(kN/m)=[D][B]{ae}{σC}(kN/m)=Ew·Δl/l（3）

其中：{σM}={σx σy σxy}{σM}={σxσyσxy}为局部坐标系中膜单元应力；[B]=12S⎡⎣⎢ym−yi0xi−xmyi−yj0xj−xi0xj−xiyi−yj⎤⎦⎥[B]=12S[ym−yiyi−yj000xj−xixi−xmxj−xiyi−yj]为应变矩阵，S为膜单元面积；[D][D]为本构关系矩阵，其中纬向模量为按式(1)修正后的模量值；{ae}=[ai aj am]T=[ uj um vm]T{ae}=[aiajam]T=[ujumvm]T为膜单元节点位移；{σC}{σC}为索单元应力；EwEw为等效于膜材经向模量的索单元模量；ΔlΔl为索单元伸长量；l为平面膜片上的索单元长度。

将膜单元应力与设计预应力的应力差ΔσMΔσM以及索单元应力σCσC合成节点等效荷载向量F，所有单元（包括膜单元和索单元）组装到刚度矩阵K，从而根据势能原理（式（5）），建立平衡方程求解节点位移。

ΔσM=σM−σDF=∑i=1nFiK=∑i=1nKiΔσM=σM-σDF=∑i=1nFiK=∑i=1nKi（4）

∏P=12∫{ε}T[D]{ε}tdxdy∏P=12∫{ε}T[D]{ε}tdxdy（5）

其中：σDσD为膜单元设计预应力；FiFi为膜单元和索单元的节点等效荷载向量；KiKi为膜单元和索单元的刚度矩阵；∏P∏P为泛函总位能；{ε}{ε}为应变矩阵。

求解单元节点位移后，修正前一迭代步的膜片单元坐标，可计算出修正后膜片中膜单元和索单元的边长，进行下一步的膜片优化。重复这个过程，直到膜片的应力差目标函数收敛到最小值，如式（6）所示。通过对平面膜片进行迭代修正，得到优化的裁剪膜片。

PM=Σ12(σM−σD)T(σM−σD)→ 最小化PM=Σ12(σM−σD)T(σM−σD)→最小化（6）

得到优化裁剪膜片后，进行实际平衡分析，即可得到最终的几何形状和实际平衡应力。将优化的裁剪膜片进行组装，并通过拉紧使其形成找形形状。此时索膜单元的应力σMσM和σCσC在此形态上并不平衡，故需要进行整体平衡分析得到组装形态上的实际应力。在整体平衡分析中，由于节点不平衡力的存在，节点位置会发生移动从而形成新的结构整体平衡方程，通过牛顿-拉夫逊法迭代求解得到平衡曲面。当节点最大不平衡力收敛到预设容差内以及在每次迭代结束时的位移增量在预设容差内，停止计算。

为了探讨焊缝对裁剪的影响，以下算例在裁剪中分别进行了考虑焊缝和不考虑焊缝影响的对比（表1）。由于在实际建造过程中焊缝必然存在，组装分析中应该考虑焊缝的影响。A分析为本文考虑焊缝影响的裁剪方法所得到的优化膜片进行组装分析；B分析为不考虑焊缝影响的裁剪优化膜片进行组装分析；C分析为目前工程普遍百富策略白菜网的方法，即裁剪及组装分析均不考虑焊缝。以上模拟分析均在SMCAD[15]进行，采用改进的牛顿-拉夫逊法求解有限元分析中的几何非线性问题[16]。

中国帽模型是有两个固定环的悬链曲面，上环直径1.2 m，下环直径5.6 m。两个圆环的高度差为1.0米（图 4）。整个曲面沿环边界划分为12份，各向同性预应力为2.0 kN/m。焊缝宽度为60mm。由于结构对称，以一个子曲面的应力分布代表最终组装形态的应力。膜材经纬向模量为220 kN/m，泊松比为0.4。模型包含了2304个膜单元。对于A和B分析的模型，还包含了192个模拟焊缝的索单元。模型悬链线方向为膜材经向，环向为膜材纬向。

由于A、B和C三种分析应力分布和变形图规律一致，本文只展示了A分析的应力图和变形图（图6-图7），其中变形图显示放大系数为50倍。中国帽的三种分析结果列在表 2。中国帽模型应力峰值都在膜条边缘，应力最小值位于膜条中间区域。与裁剪不考虑焊缝影响的方式相比，在裁剪分析中考虑焊缝刚度得到的膜片边长更长，从而影响经向应力和模拟焊缝的索应力分布（图5）。因此，与B分析相比，A分析的组装形态经向应力和焊缝应力更小。A分析和B分析的经向应力最大值的差值达到0.115 kN/m，焊缝应力最大值的差值达到0.352 kN/m。相对于B分析的变形（5.470 mm），在A分析中考虑焊缝得到的组装形态与找形形状偏差更小（3.736 mm）。虽然C分析的变形（3.416mm）最小，但组装分析未考虑焊缝影响的影响，与实际情况不符。

充气球模型直径为4 m，设计气压30 kPa，根据无矩理论[17]在设计气压下理论应力为30 kN/m。膜材经纬向模量分别为 682 kN/m和1453 kN/m，泊松比为0.3和0.14，剪切模量为34.1 kN/m。结构16等分，模型中包含了20224膜单元。对于A和B分析的模型，还包含了1280索单元。模型经线方向为膜材经向，环向为膜材纬向。

充气球模型展示了A分析的应力图和变形图（图 10-图 11），其中变形图显示放大系数为10倍。三种分析结果列在表 3。充气球模型应力峰值位于膜条中间区域，应力最小值位于膜条边缘。如图 9所示，在裁剪分析中考虑焊缝刚度得到的膜片边长更长。因此，相应的组装形态经向应力和模拟焊缝的索应力更小，尤其经向应力与焊缝应力最小值相差非常明显。经向应力与焊缝应力最小值位于圆顶，且A分析的经向应力最小值（5.345kN/m）和焊缝应力最小值（5.360kN/m）明显小于B分析的经向应力最小值（22.646kN/m）和焊缝应力最小值（16.626kN/m）。这是因为本文优化裁剪方法以保证组装形状最接近设计形状为目标，A分析在裁剪中考虑了焊缝，且顶部焊缝密集，故在圆顶处经向应力与焊缝应力非常小。对比B分析的变形（54.983 mm），在A分析中裁剪考虑焊缝得到的组装形态与找形形状偏差更小（1.956 mm）。C分析在裁剪与组装分析中均不考虑焊缝，故应力分布均匀且变形很小，但不符合实际情况。

鞍型模型是一个有4个角点和4条索的双曲抛物面。对角线长度为12 m，高低角点的高差为3.5 m，设计预应力为4.0 kN/m，边索设计力为40 kN。整个曲面等分为8份，沿着低点对角线方向为经向，沿着高点对角线方向为纬向。膜材经纬向模量为1500 kN/m和500 kN/m，泊松比为0.333，剪切模量为80 kN/m。模型包含了512个膜单元。对于A和B分析的模型，还包含了64个模拟焊缝的索单元。

鞍型模型A分析的应力分布和变形图如图 13和图 14所示，其中变形图显示放大系数为50倍。鞍型模型经向应力峰值位于膜条边缘，经向应力最小值位于膜条中心区域，纬向应力分布则相反。相对于B分析，A分析的经向应力和焊缝应力更小，得到的组装形态与找形形状偏差更小（2.739 mm）。C分析应力分布均匀，且变形很小近似为零，但忽略了焊缝的影响，不符合实际情况。

本文通过将2维单元的节点坐标作为关键点，基于初始裁剪膜片迭代进行几何非线性有限元分析得到优化裁剪膜片，并在此过程中考虑焊缝影响的刚度。然后膜片组装和平衡分析得到真实应力状态且最终形状最接近设计形状，此组装形态也考虑了焊缝的影响。将焊缝模拟为索单元来模拟焊缝长度方向的影响，将相邻焊缝之间的膜单元的纬向模量进行修正来模拟焊缝宽度方向的影响。

通过三个经典算例（中国帽模型、充气球模型、鞍形模型），分别进行了裁剪及组装过程中是否考虑焊缝影响的三种分析，证明了考虑焊缝影响的重要性。裁剪过程中考虑焊缝相对比不考虑焊缝，优化的平面膜片边长更长，组装形态更接近设计形态，两者应力分布也有很大的区别。组装过程中不考虑焊缝则不能反映真实的应力分布及形状。