力密度法是空间索膜结构找形分析的主要方法之一[1,2,3], 它采用索网模型, 引入力密度的概念, 找形过程无需解非线性方程组, 运算效率极高.但是, 对于体形比较复杂的组合膜结构, 在将各膜块离散为线单元时, 往往不能保证分界索两侧的线单元交于同一点.因此当相邻两块膜的网格划分不同时, 由节点的平衡条件可知, 离散的脊索单元会呈“锯齿状”.文献[4,5]提出了T单元的概念, 用以解决边界索的“锯齿”问题.本文在此基础上进一步推导了膜结构T单元的单元力密度矩阵, 论述了带T单元的力密度法找形程序的编制过程, 最后用算例验证了该法的可行性.

假设膜面离散后膜线单元与边索索元 (简称“索元”) 用j表示, 其首末节点为i, k.以坐标x方向为例, 根据空间交于某节点i的索力在x方向的投影建立平衡方程, 有

∑xk−xiliksik=0 (1)∑xk-xiliksik=0(1)

式中:lik表示以节点i、k为首末节点的索元长度;sik表示以节点i、k为首末节点的索元索力.如果对于索元j, 令qj=sjljqj=sjlj, 则式 (1) 可写成

∑i=1nAqj(xjk−xji)=0 (2)∑i=1nAqj(xjk-xji)=0(2)

式中:qj称为索元j的力密度;nA为结构节点总数.式 (2) 即为索膜结构力密度法的平衡方程.

T单元由边界索单元和与之相连的膜线单元组成, 因其形状而得名, 如图1所示.

图1中, T单元的3个节点分别为t, m, p;膜线单元用h表示, 其长度、膜力和力密度分别为lh, sh, qh;索单元用f表示, 其长度为lf.T单元的特点是:膜线单元h与边界索单元mp的交点1不作为初始未知节点, 索单元mp在侧向是一刚性杆.膜线单元作用在索单元上的力sh按平衡条件分配到索的两个节点m, p上, 节点p分配得到的力为bhlf⋅shbhlf⋅sh, 节点m分配得到的力为ahlf⋅shahlf⋅sh.待求得边索节点m, p的坐标值后, 膜线单元与边索的交点 (节点1) 的坐标值可由式 (3) 通过对索节点m, p的坐标插值得到:

x1=bhlfxp+ahlfxm (3)x1=bhlfxp+ahlfxm(3)

根据式 (2) , T单元膜节点t的平衡方程为

∑qj(xjk−xjt)+qh(bhlfxp+ahlfxm−xt)=0 (4)∑qj(xjk-xjt)+qh(bhlfxp+ahlfxm-xt)=0(4)

索单元节点p的平衡方程为

∑qj (xjm-xjs) +

∑qhxt−(bhlfxp+ahlfxm)xt-(bhlfxp+ahlfxm)·bhlf=0 (5)bhlf=0(5)

按单元的不同, 可以将膜面单元分为膜线单元和T单元两种.设膜线单元j的首末节点为i, k;T单元h的3个节点分别为如图1所示的t, m, p.于是对于整个膜面, 有

∑qj(xjk−xji)+∑qh(bhlfxp+ahlfxm−xt)+∑qj(xjk-xji)+∑qh(bhlfxp+ahlfxm-xt)+

∑qh[xt−(bhlfxp+ahlfxm)]⋅bhlf+ ∑qh∑qh[xt-(bhlfxp+ahlfxm)]⋅bhlf+∑qh

xt−(bhlfxp+ahlfxm)xt-(bhlfxp+ahlfxm)·ahlf=0 (6)ahlf=0(6)

式 (6) 即为带T单元的索膜结构力密度法平衡方程.

力密度法找形实质上就是要根据节点的平衡条件来求解节点坐标未知量.设结构未知节点坐标列向量及已知节点 (固定节点) 坐标列向量分别为x, xF, 则式 (6) 总能写成形如式 (7) 的形式[6]:

Q·x+QF·xF=0 (7)

矩阵Q, QF中的元素可以根据各个索元的单元力密度矩阵的对应元素叠加求得.对于首末节点为i, k的一般索单元j, 定义

qe=[ qik−qik−qik qik] (8)qe=[qik-qik-qikqik](8)

式中:qe即为一般索元的单元力密度矩阵.

下面推导T单元的单元力密度矩阵.参考图1, 对于T单元h, 设其3个节点依次为t (h) , m (h) , p (h) , 故单元力密度矩阵对应为3×3阶, 设为qeTΤe.考察qeTΤe第一列元素, 单元力密度矩阵第一列元素的物理意义是:当节点t的位移等于1, 节点m, p的位移等于0时, 需要在单元各节点位移方向施加的节点力的大小[7].设节点t的节点力为sh, 则分配到节点m, p的等效节点力分别为−ahlf⋅sh,−bhlf⋅sh-ahlf⋅sh,-bhlf⋅sh, 即qeTΤe的第一列元素为qh −ahlf⋅qh −bhlf⋅qhqh-ahlf⋅qh-bhlf⋅qhT.由qeTΤe的对称性可求出其第一行元素, 然后仿前分析即可得

qeT=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢qh−ahlf⋅qh−bhlf⋅qh−ahlf⋅qh (ahlf)2⋅qh ahlf⋅bhlf⋅qh−bhlf⋅qh ahlf⋅bhlf⋅qh (bhlf)2⋅qh⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥ (9)qΤe=[qh-ahlf⋅qh-bhlf⋅qh-ahlf⋅qh(ahlf)2⋅qhahlf⋅bhlf⋅qh-bhlf⋅qhahlf⋅bhlf⋅qh(bhlf)2⋅qh](9)

式 (8) 与式 (9) 的单元力密度矩阵只是一维 (x方向) 的情形, 扩展至空间, 则qe与qeTΤe分别为6×6阶与9×9阶矩阵.

若结构的自由节点 (即待求的未知坐标值节点) 有n个, 则平衡方程式 (7) 扩展到空间情形, 就是由3n条方程组成、包含3n个未知节点坐标的线性方程组.在求得单元力密度矩阵后, 如何合成矩阵Q, QF就成了解题的关键.定义“相关节点[8]”为某节点i以及相交于节点i的各单元的远方节点, “相关单元”为与节点i相交的所有单元, 则矩阵Q, QF的集成规则为:①Qii=∑jqeii+∑TqeTiiQii=∑jqiie+∑ΤqΤiie, 即Qii是节点i的相关单元的单元力密度矩阵的主子块qeiiiie与qeTiiΤiie的总和; ② Qik=qeikike+qeTikΤike, 特别地, 当i, k不是相关节点时, Qik=0.

通常可以采用单元定位向量来记录单元中各节点的位移分量的编号.对于结构的n个自由节点与nF个固定节点, 我们定义:对于单元的自由节点, 其位移分量编号大于0, 从1至n排列;对于单元的固定节点, 位移分量编号小于0, 从-1至-nF排列.对于矩阵Q, 若某单元定位向量中某位移分量为负值, 则表示单元该端连的是固定节点, 在单元力密度矩阵qe或qeT中该节点对应的行和列可以删去, 不必向Q叠加;若单元定位向量的某位移分量为正值, 则该分量就是qe或qeT中相应的行和列在Q中的行码与列码.用同样的方法可以集成矩阵QF, 然后解方程组 (7) 即得各自由节点的坐标值.

求解完方程 (7) 后, 还要根据式 (3) 反求T单元中节点1的坐标.至此, 空间各节点的坐标值求解完毕.对于索单元j, 采用公式

{lj=(xi−xk)2+(yi−yk)2+(zi−zk)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√ (10)sj=qj⋅lj{lj=(xi-xk)2+(yi-yk)2+(zi-zk)2(10)sj=qj⋅lj

可求出平衡时单元的长度及所代表的膜力.根据支座节点F的平衡条件, 可得到支座反力公式:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪HF=∑j±sj⋅cosαVF=∑j±sj⋅cosβWF=∑j±sj⋅cosγ (11){ΗF=∑j±sj⋅cosαVF=∑j±sj⋅cosβWF=∑j±sj⋅cosγ(11)

式中:∑j∑j表示对所有与支座节点F相联结的j个单元求和.若支座节点F是某单元的始端节点, 则式 (11) 右边第一项取负号;反之取正号.cosα, cosβ, cosγ分别为单元向量与x, y, z轴的夹角余弦.图2是程序的流程图.

算例1 图3为一组合马鞍形膜结构的平面布置图, 节点1～6为固定节点, 括号中数值为固定节点的坐标 (单位:m) .6条边索用bs1～bs6表示, 连接1、2节点设置一道脊索JS.膜的经纬向初应力均为2 kN/m, 边索预张力为20 kN, 脊索预张力为5 kN.

当采用T单元进行找形分析时, 边索与脊索各离散为5个单元.离散后索网共含152个节点, X其中自由节点100个, T单元节点46个, 固定节点6个, 索单元共203个.如不用T单元, 索网共含126个节点, 其中自由节点120个, 固定节点6个, 索单元共223个.

上述两种处理所得的找形分析结果见图4, 图5.

比较图4和图5, 若脊索不采用T单元, 用力密度法找形得到的初始形状在脊索处就出现了锯齿状, 显然与实际情况不符, 而采用T单元进行找形则可以克服上述缺点.

算例2 图6为一组合伞形膜结构的平面布置图, 节点1～8为固定节点, 括号中数值为固定节点的坐标 (单位:m) .锥顶是固定的半径为0.8 m的钢环, 锥顶标高为2.5 m.8条边索用bs1～bs8表示, 连接3, 4节点和5, 6节点各设置一道脊索JS1, JS2.膜的经纬向初应力均为3 kN/m, 边索预张力为30 kN, 脊索预张力为20 kN.

当采用T单元进行找形分析时, 边索与脊索各离散为5个单元 (图6中用小圆圈分格) .离散后索网共含258个节点, 其中自由节点154个, T单元节点60个, 固定节点44个, 索单元共362个.

如果不采用T单元, 索网共含节点218个, 其中自由节点174个, 固定节点44个, 索单元共382个.

上述两种处理所得的找形分析结果如图7、图8所示.

通过图7和图8的比较, 再一次验证了T单元的优点, 采用了T单元的脊索明显比没有采用T单元的脊索光滑连续.

引入T单元是解决复杂索膜结构力密度法找形的必要手段之一.采用T单元, 不但能延续力密度法是线性方法这一优点, 而且还可以有效地解决边界索的“锯齿”问题.通过算例, 证实了本文推导的公式及带T单元的力密度法找形程序的正确性.