膜结构是近年来兴起的新型空间结构。由于膜结构所用的索、膜材料是柔性材料，本身没有抗弯、抗压强度，抗剪强度也很低，必须对膜材和索施加一定的预张力才能使结构形成一定的刚度以抵抗自重和外荷载。而这一过程就是所谓的初始形态的确定 (找形) ，也是“几何外形”与“预应力状态”的完美结合。即在一定预张力的情况下找到一个既符合建筑美观又满足边界条件的曲面。而找形结果也应该尽量找到最小曲面，使膜面内的应力尽量均匀。

动力松弛法 (Dynamic Relaxation简称DR) 最早是由英国工程师A.S.Day和教授J.R.H.Otter在研究潮汐问题时提出来的[1]。二十世纪70年代后，英国学者M.R.Barnes发展了该方法，将它广泛百富策略白菜网于索网、索膜结构中。

动力松弛法是一种百富策略白菜网动力学原理将结构的静力问题转化为动力问题求解非线性系统平衡状态的数值方法。它的基本思路是：首先将结构体系离散为网格，于是在初始位置下形成结构体系的不平衡力，接着在不平衡力的作用下产生振动，然后逐点 (空间上) 、逐步 (时间上) 跟踪体系的振动过程，直到由于阻尼项的存在，消耗能量，使结构最终从运动中静止下来达到平衡状态。

根据达朗伯定理列出时刻结构体系的动平衡方程[2]：

式中，M是总质量矩阵，C是总阻尼矩阵，Pn是结点内阻力的总矢量，fn是作用的体力和面力组

合在一起而形成的一致结点力矢量，是结点加速度总矢量，是结点的速度总矢量。内阻力Pn矢量和一致结点力fn矢量合称为不平衡结点力矢量。

采用中心差分法，加速度和速度用位移表示为：

其中△t为时间步，dn, dn-1, dn+1分别为时刻tn, tn-△t, tn+△t的位移。把 (2) 、 (3) 式代入 (1) 式整理后得：

可见，dn+1=g (dn, dn-1) 即tn+△t时刻的位移可以用tn时刻和tn-△t时刻的位移显式表示出来。

实际上早前Cundall在处理不稳定岩石力学的大扰动中提出了“运动阻尼”通过跟踪结构的无阻尼运动，记录离散时刻的动能值，当出现局部动能峰值时，将结构各结点速度分量人为置为零，从当前几何位形重新开始振动，直到结构的总动能消耗完毕达到静力平衡。于是可消去阻尼C。

将各结点按X方向位移分解得：

对于初始时刻，根据中心差分法有：

设初始时刻各结点速度为零，代入得到：

同理，对Y、Z方向有类似的结果。

由此得到动力松弛法求解循环过程：

(1) t=0时刻，设各结点位移、速度为零，施加边界条件计算不平衡结点力。

(2）计算t+△t时刻的位移及得到新的不平衡结点力，计算t+△t/2时刻的结构总动能。

(3）比较两次动能，当出现局部动能峰值时置各结点速度分量为零，从当前位置重新开始运动。

(4）返回（2）直到不平衡结点力充分小。

动力松弛法中质量和时间步长是影响计算的稳定性和收敛速度的两个重要参数。由于我们分析的最终目标是得到结构的一个平衡状态而不是跟踪结构的真实动力行为，于是可以采用虚拟质量。对于时间步长的选取，根据英国学者Barnes[1]的建议，给出为：

其中Si是节点的最大可能刚度。为了简便取三个空间方向一致，得到虚拟质量的表达式：

将式 (7) 代入式 (5) 、 (6) 则化简为：

动力松弛法是一种离散的数值计算方法，要求对结构进行初始化离散。膜结构通常包含索与膜，对于索单元，可简单地取每个索线单元为一个空间杆单元进行分析。考虑索杆的几何非线性，采用两节点单元，每个节点三个自由度，并作如下几个假定[3]：

(1) 索杆单元两节点为理想的无摩擦的铰节点。

(2) 索杆材料为理想的线弹性体，受力和变形满足虎克定律。

对于膜单元，将膜面离散为三节点三角形单元，并进一步将三角形膜单元等代为以三角形三条边为单元的杆单元，这样原来的三角形单元就化为只有沿三根杆自由伸缩的简化杆单元，即将膜面应力σ等效成了三角形的三条边的链杆内力了，可以通过虚功原理得到[1]：

于是在找形过程：

式中为tn时刻与节点i相连的另一节点为j索杆单元m（包括索单元及三角形单元的三条边的等效杆单元）的内力，为该索杆单元m在时刻tn的长度。

而节点i的最大可能刚度Si的计算一般来说既要考虑弹性刚度又要考虑几何刚度，根据Barnes[1]的建议：

本文根据上述动力松弛法的基本理论及各单元的特点，在Compaq Visual Fortran 6.5环境下百富策略白菜网Fortran语言编制了膜结构找形分析程序进行算例分析。

为验证本文理论方法的正确性和程序的适用性，选取标准马鞍面找形，取标准曲面方程为找形中膜面初始预应力为3kN/m，膜材厚为1mm，找形过程中保持初应力不变，然后一次性抬高边界固定点进行找形，取时间步长△t=0.01，允许最大不平衡力为10-2N，将曲面划分为221个结点，400个三角形膜单元（见图1）。经过1024次循环达到收敛，出现动能峰值31次。空间平衡形状见图2。

表1给出了典型节点计算值与精确值的比较，从中可以看出，本程序计算结果的精度是相当高的，表明本方法的正确可靠性。

跟踪结构体系找形过程中的动能变化情况，将体系动能值随循环次数变化而变化的规律示于图3中（其中左图为动能在整个过程中的变化情况，右图为动能在前40次的变化情况，以后类似的动能变化图如不作特殊说明均是此意）。

本算例为佛山世纪莲的体育场膜结构，其具体结构尺寸见图4，它是由上、下两个大的钢压环作为膜结构的固定边界，然后通过脊索、谷索、连系索、内环索拉成一个圆环状的“莲花形状”，上下压环通过V形钢撑杆连接，而下压环固定在刚度很大的混凝土支柱上，采用自己设定的结构参数（见表2）进行找形分析，将结构划分为1760个节点，3200个三角形膜单元，1120个两节点索杆单元，找形时保持薄膜、脊索、谷索、连系索的预张力大小不变，而内环索给一较小的弹性模量E=1.9×105k N/m2，允许其内力的变化，计算中取最大不平衡力为10N，循环1178次达到平衡，出现动能峰值14次（动能变化情况见图5，空间平衡形状见图6）。内环圆直径变为125.232m, 高度相对下压环为9.324m。最终投影面积为53056.58m2, 内环索索力为22515.9kN。

本文介绍了动力松弛法的基本理论，推导了采用中心差分数值显式积分法的动力松弛法的基本公式，并且在Barne's[1]找形理论的基础上，在满足最大时间步长的同时运用了虚拟刚度、虚拟质量，保证了算法的收敛稳定性，同时采用运动阻尼，大大提高了收敛速度。通过算例分析验证了该算法在膜结构找形分析中的正确性及高效性。