薄膜结构在近几十年内得到了长足的发展, 它具有优美、柔和和可变的曲面造型, 给人以独特的美感。由于膜材没有抗弯、抗压刚度, 完全靠施加的预应力保持其形状, 膜表面通过其自身曲率的变化平衡外荷载, 达到内外力平衡。

膜结构经过找形分析, 得到的膜面是用离散点描述的离散曲面, 本文称为初始平衡曲面[1], 裁剪分析正是基于初始平衡曲面得到裁剪下料图, 加工单位根据下料图进行膜材裁剪加工。裁剪分析是索膜结构设计中的关键技术, 好的分析方法可以在分析过程中最大限度地降低误差, 得到的裁剪下料图就较为精确, 由此加工出来的索膜结构也就接近设计效果[2,3]。

裁剪分析首先在膜面上进行裁剪线的布局, 然后沿着裁剪线将膜面裁成离散的三维膜片, 将三维膜片展开成平面的下料膜片图, 依据下料膜片图就可在市售的膜卷材上进行裁剪下料。由于膜面中存在预应力, 而下料膜片还没有被张拉, 故在三维膜片展开成平面下料膜片的过程中必须考虑预应力的影响。上述每一步所采用分析方法的精度都直接影响到裁剪分析的精度[5,5,6,7,8]。

本文针对索膜结构裁剪分析的各个关键技术, 提出了一整套新的裁剪分析方法, 算例表明本文的算法简单可行, 具有很高的分析精度, 完全可以运用于实际工程分析中。

膜面裁剪线可以有以下几种:有限元网格线、膜面和平面的交线、伪直母线、测地线, 通常的裁剪分析中采用测地线。

由微分几何可知, 测地线上每点的主法线向量与曲面在这点的法线向量平行出发。基于这一性质本文提出一种新的测地线生成算法, 用测地线在某点的密切平面和测地线所在曲面的交线近似测地线在该点附近的微元。该算法能够通过简单迭代生成任意两端点间的测地线, 收敛稳定, 易于实现。

首先定义三角形离散曲面中任意点的Voronoi面积:如果三角形i (j-1) j为非钝角三角形, 点O为三角形的外接圆心 (如图1) , 点Xi在三角形XiXj-1Xj中的Voronoi面积为:

AVoronoi=18(∥Xi−Xj∥2ctg∠Xj−1+∥Xi−Xj−1∥2ctg∠Xi) (1)AVoronoi=18(∥Xi-Xj∥2ctg∠Xj-1+∥Xi-Xj-1∥2ctg∠Xi)(1)

式中:Xi、Xj-1、Xj为网格点矢量;∠Xi、∠Xj-1为对应的三角形内角。

如果三角形XiXj-1Xj为钝角三角形, 点O为钝角对应边的中点, 若∠Xi为钝角, 点Xi在三角形中的Voronoi面积为:AVoronoi=SXiXj−1Xj2AVoronoi=SXiXj-1Xj2, 否则, AVoronoi=SXiXj−1Xj4AVoronoi=SXiXj-1Xj4。

若环绕点Xi的三角形都是非钝角三角形, 那么点Xi的Voronoi面积为:

AVoronoi=18∑j∈Ne(i)(ctgαij+ctgAVoronoi=18∑j∈Νe(i)(ctgαij+ctgβij) ‖Xi-Xj‖ (2)

其中, αj, βj为边XiXj所对的两个角, ‖Xi-Xj‖为边ij的长度, Ne (i) 为所有和点Xi相连点的集合。

可得点Xi的平均曲率:

κHn=14AVoronoi∑j∈Ne(i)(ctgαij+ctgκΗn=14AVoronoi∑j∈Νe(i)(ctgαij+ctgβij) (Xi-Xj) (3)

式中, κH为平均曲率, n为点Xi处曲面的法线向量。

新算法要确定测地线上各点的密切平面, 测地线上某点的主法线向量与曲面在这点的法线向量平行, 而某点处的曲面法线向量N为:

求解各离散延伸点的法线向量NA如下:

当点A在网格面内, 该点法线向量NA为其网格平面的法线向量;

当点A在两个网格面共有的网格线上, 该点法线向量NA为两个网格平面的法线向量之和;

当点A为网格顶点时, 该点的法线向量NA由式 (3) 求得。

测地线在各点的切线向量:

Tˆ={T0 i=0gigi−1 i≠0Τ^={Τ0i=0gigi-1i≠0

(4)

当网格划分足够密时这种近似是合理的, 引入的误差很小且处理方便。

于是过点A的密切平面的法线向量NP:

NP=T×NA=nPii+nPjj+nPkk (5)

由式 (5) 求出测地线和边线 (图2中边线MN) 的交点B, 连接AB即为密切平面和初始平衡曲面的交线。

nPi(x−xA)+nPj(y−yA)+nPk(z−zA)=0x−xNxM−xN=y−yNyM−yN=z−znzM−zN (6)nΡi(x-xA)+nΡj(y-yA)+nΡk(z-zA)=0x-xΝxΜ-xΝ=y-yΝyΜ-yΝ=z-znzΜ-zΝ(6)

按上述方法确定点B处的切线向量和主法线向量即可确定密切平面, 和初始平衡曲面相交得到测地线的下一个延伸段BC。以此类推不断地确定密切平面及其和初始平衡曲面的交线, 直至曲面边界。

已知初始点及初始点切线向量, 运用上述方法就可以求得测地线轨迹。测地线初始点A、初始切线向量Ti, 对应的测地线终点A′i有以下关系:

F (A, Ti) -A′i=0 (7)

式中, 映射关系F为测地线延伸算法, 并规定函数值:两端点确定的竖直面P把三维空间分为两个子空间, 在左子空间F (A, Ti) -A′i<0, 在右子空间F (A, Ti) -A′i>0。

已知两端点A和A′求测地线的问题, 可以转化为搜索点A′i逼近点A′的初始切线向量T′, 再由点A和切向量T′得到最终的测地线。本文采用二分迭代法搜索切线向量Ti, 当满足收敛准则, 迭代过程结束, T′即为所求的初始切线向量。

二分迭代法的实施步骤如下:

(1) 在点A处的测地线从切平面内, 设切向量T的搜索区间为[D0, E0];

(2) 取D0和E0的角平分向量T0, 运用密切平面相交法得到F (A, T0) 。若F (A, T0) -C=0, 则T0确定的切向量就是待求的切向量;

(3) 否则检查不等式 (F (A, E0) -C) · (F (A, T0) -C) <0是否成立。如果成立, 则T0在右子空间, 取D1=D0, E1=T0;否则取D1=T0, E1=E0;

(4) 对收缩的求解区间[D1, E1], 取D1和E1的角平分向量T1, 返回 (2) 进行搜索。

二分迭代法的收敛准则为‖F (A, Tk) -C‖≤ε, 当满足收敛准则, 迭代过程结束, Tk即为所求的切向量。由点A和切向量Tk运用密切平面相交法求得终点为点C的测地线轨迹。

文献[5,5]将弹簧-质点系统运用于曲面展开, 但该系统没能体现曲面的材料属性。本文对弹簧-质点系统进行改进, 考虑了曲面的材料属性, 故更适用于描述曲面的展开过程。

改进的弹簧-质点系统的基本构成和文献[5,5]类同, 三角形单元的弹簧和质点分布情况如图3。三角形的三个顶点为质点, 边长用弹簧代替, 但比文献[5,5]中的系统多了三条弹簧 (4～6号) , 这三条弹簧绕过质点且将内力作用在质点上。

质点的质量由三角形的面积确定:

mi=ρ3∑k=1nAkmi=ρ3∑k=1nAk (8)

式中, ρ为膜材密度, Ak为围绕质点i的第k个单元的面积, n为围绕质点i的单元个数。

下面推导弹簧内力, 将薄膜的膜面内力等效为弹簧内力。基于材料力学, 分析三角形单元的应变和三条边的伸长之间的关系。如图3的三角形单元, 三角形的局部坐标系X′, Y′和材料主轴建立的坐标系X、Y在同一个平面上。

假设应变是由小位移产生, 根据材料力学的摩尔圆理论, 三角形在沿杆元N1N2、N2N3、N3N1方向的应变εi有:

εi=εxcos2θi+εysin2θi+γxysinθicosθi (9)

式中, εx为三角形单元在X方向的应变;εy为Y方向的应变;γxy为剪切应变;εi=δiliεi=δili, 为三条边的伸长应变, 其中δi和li分别为对应边的伸长量和原长;θi是三角形单元对应边和X轴的夹角。

从上式解出εx、εy、γxy, 得到

⎧⎩⎨⎪⎪εxεyγxy⎫⎭⎬⎪⎪=1|A|⎡⎣⎢⎢(b2c3−b3c2)l−11(a3c2−a2c3)l−11(a2b3−a3b2)l−11(b3c1−b1c3)l−12(a1c3−a3c1)l−12(a3b1−a1b3)l−12(b1c2−b2c1)l−13(a2c1−a1c2)l−13(a1b2−a2b1)l−13⎤⎦⎥⎥⎧⎩⎨⎪⎪δ1δ2δ3⎫⎭⎬⎪⎪ (10){εxεyγxy}=1|A|[(b2c3-b3c2)l1-1(b3c1-b1c3)l2-1(b1c2-b2c1)l3-1(a3c2-a2c3)l1-1(a1c3-a3c1)l2-1(a2c1-a1c2)l3-1(a2b3-a3b2)l1-1(a3b1-a1b3)l2-1(a1b2-a2b1)l3-1]{δ1δ2δ3}(10)

上式记作{ε}=[B]{δ}, 其中

ai=cos2θi,bi=sin2θi‚ci=sinθicosθi‚A=⎡⎣⎢a1a2a3b1b2b3c1c2c3⎤⎦⎥ai=cos2θi,bi=sin2θi‚ci=sinθicosθi‚A=[a1b1c1a2b2c2a3b3c3]

。

由应力应变关系有:

{δ}=[D]⎧⎩⎨⎪⎪εxεyγxy⎫⎭⎬⎪⎪=[D][B]{δ}{δ}=[D]{εxεyγxy}=[D][B]{δ}

(11)

式中[D]为反映材料属性的弹性矩阵:

[D]=⎡⎣⎢d11d210d12d22000d33⎤⎦⎥[D]=[d11d120d21d22000d33]

式中, d11=d22=E1−v2,d12=d21=vE1−v2,d33=E2(1+v)‚Ed11=d22=E1-v2,d12=d21=vE1-v2,d33=E2(1+v)‚E为薄膜材料弹性模量, v为泊松比, t为薄膜厚度。

可得到三角形单元中三根弹簧的内力:

[T]=⎧⎩⎨⎪⎪T1T2T3⎫⎭⎬⎪⎪=V[B]T{σ}=V[B]T[D][B]{δ}=[K]{δ}=⎡⎣⎢k11k21k31k12k22k32k13k23k33⎤⎦⎥{δ} (12)[Τ]={Τ1Τ2Τ3}=V[B]Τ{σ}=V[B]Τ[D][B]{δ}=[Κ]{δ}=[k11k12k13k21k22k23k31k32k33]{δ}(12)

式中{δ}为三角形边长的伸长量, V为三角形单元体积。

由式 (12) 知, 得各弹簧的弹性系数分别为:

C1=k11−k31−k21 C2=k22−k21−k32C3=k33−k31−k32 C4=k21 C5=k32 C6=k31 (13)C1=k11-k31-k21C2=k22-k21-k32C3=k33-k31-k32C4=k21C5=k32C6=k31(13)

各弹簧的形变量和三角形边长的伸长量之间的关系为:

[Δ1Δ2Δ3Δ4Δ5Δ6]T=

[δ1 δ2 δ3 (δ1+δ2) (δ2+δ3) (δ1+δ3) ]T (14)

定义弹簧质点系统在质点Pi处的弹性变形能Ei和弹性力fi为:

Ei=∑j=1mej=∑j=1m12CjΔ2jFi=∑j=1mfj=∑j=1mCjΔjNjEi=∑j=1mej=∑j=1m12CjΔj2Fi=∑j=1mfj=∑j=1mCjΔjΝj

(15)

式中, Cj为弹簧弹性变形系数, Δj为弹簧的形变量, Nj为弹簧内力的单位矢量, m为和质点Pi相连的弹簧数。

曲面的展开过程是空间的三角形单元变形到平面三角形单元的变形过程, 该过程可分解为:三角形单元在单元所在平面内的变形、三角形单元在平面外的旋转、三角形单元的整体刚性位移, 其中后二者变形不会产生单元内应变。

本文根据等距映射原理, 实现从空间曲面到平面的展开过程分析。由于假设的初始展开平面的三角形网格边长和对应的三维曲面的网格边长存在差异, 故弹簧中存在内力, 质点受到等效节点力, 利用动力学释放等效不平衡节点力即可得到最终的展开膜片。

系统中的质点在弹簧力和施加的牵引力作用下发生运动, 利用动力学即可得到最终的平衡态, 运动学方程如下:

MX¨+CX¨+KX=FI+FEΜX¨+CX¨+ΚX=FΙ+FE (16)

式中, M、C和K为系统质量矩阵, FI为系统质点惯性力, FE为系统所受外力, X为系统所有质点的位置矢量。

在膜片展开过程中, 对系统运动采用拉格朗日运动方程描述, 忽略阻尼, 运动方程为:

XiMX¨−F=0XiΜX¨-F=0 (17)

式中, M为系统质量矩阵, F为各弹簧中的力。

利用欧拉法求解方程, 为较快得到平衡位置, 忽略质点的惯性运动, 认为从时刻t到时刻t+Δt的质点运动的加速度不变:

X?t+Δti=X?ti+ΔtX¨ti,Xt+Δti=Xti+ΔtX?ti+Δt22X¨tiX?it+Δt=X?it+ΔtX¨it,Xit+Δt=Xit+ΔtX?it+Δt22X¨it (18)

将三维裁剪膜片向平面投影, 得到初始展开平面。在计算过程中, 三角形边长和面积随三角形节点在变化。每次迭代过程中, 由式 (8) 计算各质点质量, 由式 (15) 计算各点节点力, 然后由式 (17) 、 (18) 计算出各点的新坐标。展开的收敛准则有相对面积误差小于某给定值、相对弧长误差小于某给定值及弹性变形能小于某给定值。

算例1:如图4锥形结构, 顶部半径a=0.7m, 底部固定点半径b=3.8m, 高h=2.4m。形面为中心对称结构, 顶部边界固定, 底部为五边形的顶点固定, 顶点之间有索连接, 图4 (b) 所示为膜曲面形状的正视图。

考虑结构对称性和美观, 膜曲面上测地线布置如图5, 以测地线为裁剪线, 将整个曲面分为15片。将每一曲面片依次展开, 得到如图6的展开图。展开前, 整个结构曲面的面积为30.535m2;展开后, 15片曲面片的面积之和为30.539m2。面积误差很小, 仅为0.02%。

算例2:某大学索膜结构小品由8跨双曲面组成, 平面布置为圆环形, 左右对称各四跨, 如图7所示, 立面布置如图8所示, 图7、图8中粗线表示索。

利用结构对称性, 取右边4跨进行裁剪分析。通过考虑本文的因素优化裁剪线的布局, 按膜材宽度将每跨膜面划分为4片, 为方便施工将跨与跨之间的索边界取为裁剪线, 由本文算法计算出另外3条测地线作为裁剪线, 裁剪线分布平面图见图9。然后利用本文提出的弹簧-质点系统展开各裁剪膜片, 一共有16片裁剪膜片, 即得到如图10所示的膜片下料图。不考虑预应力释放时, 将各膜片下料图的面积累加, 和初始膜曲面的面积相比较, 4跨膜面展开的相对面积误差为1.5%, 展开效果很好。

本文采用测地线作为裁剪线, 利用测地线上每点的主法线向量与曲面在这点的法线向量平行这一性质, 提出了一种新的测地线生成方法。先用测地线的密切平面和初始曲面相交来确定已知一点和初始方向的测地线, 然后用二分迭代法来确定两点间的测地线。改进弹簧-质点系统, 使其体现膜材的材料属性, 并运用于裁剪膜片的展开。算例表明, 本文提出的算法可以方便地在初始平衡曲面上精确地计算测地线上的离散点, 根据生成的测地线将膜面划分成若干裁剪膜片, 然后分片展开, 得到最终的裁剪下料图, 根据下料图即可进行裁剪加工。