索膜结构的材料既不能抗压也不能抗弯, 结构在零应力状态时是一种不稳定的结构, 所以其分析和设计与一般的刚性结构不同, 在分析设计阶段一般可分为找形分析、荷载分析和裁剪分析。找形分析是索膜结构分析和设计的首要环节, 其分析的主要方法有:力密度法 (Force Density Method) 、动力松弛法 (Dynamic Relaxation Method) 和非线性有限元法 (Nonlinear Displacement Analysis Method) 。随着有限元理论和相关软件的迅速发展, 非线性有限元法逐渐成为索膜结构找形的主流方法, 该方法的研究是从20世纪70年代开始的, 1971年Haug和Powell提出了基于Newton-Raphson的非线性迭代的索网结构找形方法[1], 即从一个初始几何形态开始, 通过改变索的预应力或者索段的原始长度并经过迭代得到相应的形状。随后J.H.Argyris等在1974年提出从一种平面状态开始找形的方法[2], 通过改变控制点的坐标并经平衡迭代得到相应的平衡状态。近年来Tran[3]、Pagitz[4]、童丽萍[5]和田广宇[6]等学者都对其进行了深入研究。但这些研究大多是已知预应力求最小曲面的问题, 而实际的索膜工程中预应力和精确的结构形态均是未知的。因此本文针对这一实际问题, 对索膜结构的找形和找力方法进行了研究, 以解决大型索膜工程的形态分析问题。

非线性有限元找形方法一般是给定边界条件和一定的预应力, 得到几何非线性节点平衡方程为[7]:

式中:[KL]为线性刚度矩阵;[KNL]为非线性刚度矩阵;[Δu]为位移列阵;{Rt+Δt}为荷载向量;{Pt}为结点等效荷载向量。

为了保证最终得到预应力分布为初始假定的预张力, 常常不计本构关系的影响, 使最小曲面形状与膜的材料特性无关, 即变为纯力学平衡问题, 因此膜结构找形一般基于以下假定[8]:

1) 把膜结构假想成理想的材料, 其变形不会带来应力的改变, 即取膜的弹性模量E=0或E→0。

2) 找形分析中可忽略材料自重和外荷载的影响。

根据假定1) 可以得出, 线性刚度在找形过程中不起作用, 结构刚度仅仅由非线性刚度组成;从假定2) 可以得出{Rt+Δt}=0, 因此, 式 (1) 可列为:

引入边界条件, 求出位移增量Δu, 按照非线性法将各结点的位移增量叠加到原位形上得到新的位形, 并以此作为新的参考位形计算新的结构变位, 在满足给定的收敛准则条件下, 逐步迭代到最终位形。由于最终的位形是极小曲面, 以膜面应力的均匀度为衡量标准。

本文认为在膜结构的几何大变形得到控制后, 可通过结点力的平衡来调整索的预张力, 即在更新结构构形的同时, 更新索的预张力为新构形下的索内力。此时的索内力正是保证索在新构形下平衡的张力, 这不仅可以大大减小计算迭代过程中的不平衡力, 缩短找形的进程, 而且可以在结构找形的同时得到索的合适的张力。

该找形方法的分析步骤如下:

1) 有限元建模, 包括设置膜单元小弹性模量、索和膜的预估预张力。

2) 非线性计算。

3) 得到变形后的结点坐标和膜的应力分布及竖向位移, 并更新结点坐标, 形成新的构形。

4) 检查膜面应力均匀度是否达85%以上及竖向位移是否小于跨度的1/500 (几何大变形是否得到控制) , 若二者都满足, 进入步骤5) , 否则回到步骤2) 。

5) 更新索内预张力为受预张力变形后的索的内力, 并进行非线性找形计算, 形成新的构形。

6) 在膜面应力均匀度 (一般为95%以上) 和结构位移 (本文取跨度的1/600) 达到要求后, 还原膜单元的弹性模量为其真实模量。

7) 执行非线性计算, 检查膜面应力、变形及小弹性模量的计算结果的差别, 若差别很小 (本文取2%以内) , 则认为找形成功, 否则重复5) , 6) 步, 直到假设初始模量与真实弹性模量的计算结果的差别达到要求为止。

本文的典型算例为菱形双曲抛物面索膜结构, 其对角线距离为10 m, 高低点的高差为4 m, 膜面的初始预张力R0为2 kN/m。膜面初始小弹性模量为1×10-4MPa, 真实模量为1 000 MPa。边索的初始预应力为5 kN, 抗拉刚度EA为3×104kN, 索的截面积为0.000 2 m2。边界4个角点固定, 四条边为柔性索边界。

本文对3种情况下的找形计算结果进行对比分析, 这3种情况分别为:

情况1, 不考虑索找力的找形。

情况2, 始终考虑索找力的找形。

情况3, 在膜面的大变形达到控制指标后开始考虑索找力的找形 (适时考虑索找力的找形) 。

设定膜面应力均匀度为99%, 3种情况下的找形计算结果如图1、表1所示。

由计算结果可以得到, 情况1找形73次后的形态仍没有达到预定要求, 返回真实模量后, 其膜面应力非常不均匀, 且继续找形出现计算不收敛, 实际上由于该结构的索预拉力的取值太小, 计算结果仍是一个不稳定的状态, 若百富策略白菜网情况1只能加大索预拉力重新找形。情况2计算速度快、膜面应力均匀、结构稳定, 但是得到的形状不符合建筑要求, 而且索的预拉力太大, 支座反力较大, 对设计不利。只有情况3膜面应力均匀、几何外形符合要求、索的预应力和支座反力适中、找形速度较快, 是一种索膜结构找形行之有效的方法。

佛山体育中心“世纪莲花”体育场 (图2) 屋面结构为一种源自车轮轮辐概念的全张拉式结构。该结构由周边强大的上、下受压环和一系列的径向谷索、脊索以及内部受拉环索组合而成, 而谷索和脊索之间通过细小的悬挂索与聚氯乙烯 (PVC) 薄膜连接[9]。整个结构的跨度为311 m, 三维结构示意如图2所示, 一个“莲花瓣”单元的索类别示意如图3所示 (图中的索截面已放大) 。

运用本文的找形方法对该结构进行找形, 经8次计算得到所要的结果, 找形后的形状和计算结果如图4所示。

由图4可知, 找形后膜面应力均匀度为99.99%, 最大竖向位移为7 mm (跨度为311 m) , 已经形成一个非常稳定的结构, 在找形之前设置膜面预应力为3.5 MPa, 膜的虚拟弹性模量和真实弹性模量分别为10-4MPa和1 000 MPa, 各主要索的预张力值变化如表2所示。

本文基于非线性有限元找形理论, 以工程实际百富策略白菜网为出发点, 提出了适时考虑索找力的索膜结构找形方法, 使索膜结构找形和索的找力成为一个统一的过程。以是否考虑及何时考虑索找力考量, 通过对典型索膜结构在3种情况下的找形分析发现, 只有适时考虑索找力的找形方法可以快速有效地得到膜面应力均匀、符合建筑要求的平衡形态及索预拉力分布。最后, 本文百富策略白菜网该方法对佛山“世纪莲”大型张拉索膜体育场进行了找形分析, 发现该方法能够发挥工程百富策略白菜网实际和快速找形的优势, 非常适合大型索膜结构的找形和找力分析。