膜建筑是20世纪70年代发展起来的一种新型建筑体系, 是空间结构的重要组成部分。柔性的膜结构的结构组成材料本身没有受压性能, 只能通过施加预应力, 使膜或者加强索获得必要的张拉刚度, 从而形成抵抗外部荷载的结构抗力。膜结构体型复杂, 对风振作用敏感, 在风动力作用下, 结构的反应除了和动荷载本身有关, 结构还容易出现机构性特征, 所以研究膜结构的动力特征 (例如自振频率或振型) 尤为重要。膜结构的自振特性是风动力特性分析的基础和关键。本文主要运用有限元法对影响索膜结构自振特性的几个主要结构参数进行对比分析得出结论, 并结合算例验证。

采用有限元方法分析结构的振动问题时, 结构的自振分为无阻尼自振和阻尼自振两种情况。在不考虑外部荷载以及阻尼作用时, 结构的振动平衡微分方程为:

其中[M]为结构质量矩阵;Us!"为节点振幅向量;[K]为结点几何刚度矩阵。

自由振动时, 各质点均做简谐运动, 各节点的位移及加速度可以表示为:

式中, U0叫做振型向量, 是将某一频率下各质点的位移幅值依次排列, 组成一个向量;ω是与U0相对应的频率;t是时间。将 (2) 式和 (3) 式代入 (1) 式, 可以得到

结构自由振动时, 各节点振幅不可能全部为零, 因此式 (4) 系数行列式必须等于零, 即:

针对结构自振特性的研究, 从数值分析角度归结为式 (5) 的广义特征值问题, 频率的平方项是特征值, 振型是特征向量。本文采用Lanczos向量迭代法求解式 (5) 的广义特征值, 计算出结构的振型向量后, 为了确定各阶振型在总反应中的大小, 以确定后续计算所需要的模态阶数, 就需要计算结构的振型参与系数。

索膜结构的自振特性研究, 从数值分析的角度来说, 最终归结为求解式 (5) 的广义特征值。大型有限元分析软件ANSYS中提供了多种相应的求解方法。主要有:子空间法、分块兰索斯法、凝聚法、非对称法、阻尼法和QR阻尼法。但是由于索膜结构的密频特性, 仅仅求低阶振型往往是不够的, 必须要求高阶振型, 分块兰索斯法具有这种特性, 故本文选择此法。

膜结构自振特性计算采用以下基本假定:

2.1.1 所有节点均为铰接, 膜为三角形单元shell41, 结构为空间铰接体系;

2.1.2 结构边界为点或者线支撑铰接边界, 考虑边缘构件的参与时, 按实际结构模型边界;

2.1.3 结构始终处于弹性状态, 因为实际膜结构的应力安全度均很大;

2.1.4 自振参与质量仅考虑膜结构和附属构件的自重, 具体可以采用等效质量密度法或者质量单元法。

2.2.1 由ANSYS软件进行膜结构的初始形态分析, 先建立几何模型, 设定边界条件、各个支座控制点的提升位移, 进行第一次找形, 再设定各个边界控制点支座位移为零, 输入材料真实弹性模量, 重新设定结构和膜的真实预应力状态, 重复若干次以后, 通过结构自平衡迭代使结果达到所需精度, 即为膜的初始形态;

2.2.2 通过一次完全约束的静力求解形成模态分析中所需要的索膜结构初始预应力刚度矩阵;

2.2.3 进入ANSYS的模态分析, 选择分块兰索斯法并考虑结构的初始预应力进行求解, 得出自振频率及相应振型。

结构外形为正方形, 对角线距离为10m, 高度为4m。结构的材料参数为:膜面的初始预应力为σ=20N/cm, 张拉刚度Et=2550N/cm, 剪切刚度Gt=800N/cm, 泊松比γ=0.3, 膜厚t=1mm。结构4角点固定, 4条边为柔性索边界, 边索的初始预拉力均为30k N, EA=3×104k N, 索的截面积A=0.0002m2。

从表1中可以看出索膜结构的自振频率具有密频性。第一阶和第十二阶频率只相差了7Hz左右。

从式 (5) 可以看出, 索膜结构的自振频率主要与结构的刚度矩阵及质量矩阵有关。其中, 自振频率与刚度矩阵成正比关系, 与质量矩阵成反比关系。同时, 在一定跨度下, 膜结构的自重变化不是太大, 且其对自振频率的影响机理较为简单。相对而言, 结构刚度对自振频率及振型的影响要比结构质量的影响大一些。本文通过改变算例的相应结构参数, 得出结论。

从结构参数影响来看, 结构跨度和膜的预张力对自振频率的影响特别大。从表2可以看出, 随着跨度增加, 膜的自振频率会急剧降低。从表3数据看, 膜的预张力增加, 膜自振频率会增加, 这对结构是有利的。而表4及表5的数据表明, 膜的张拉刚度及膜材质量对结果影响较小。

本文主要介绍了索膜结构自振频率分析的有限元方法及其在ANSYSA上的实现。通过改变影响自振频率的因素, 得到了以下结论:

3.1 索膜结构的自振频率较低且呈连续密集分布。

3.2 增大结构的跨度, 会降低结构的自振频率, 且降低幅度较大;增大膜的预张力, 会增大结构的自振频率, 且增大幅度较大。

3.3 膜的张拉刚度对自振频率影响小。

3.4 膜材质量对自振频率影响不大。