张拉平面膜结构主要用于会展中心、停车场和体育馆等公共设施的平面型屋盖结构中[1,2]。其所受的荷载中, 风荷载一般起控制作用, 不少膜结构的破坏事故都是由强风引起的。如亚特兰大奥运会主馆佐治亚穹顶于1995年在一次强风袭击下, 有四片薄膜被撕裂;加拿大蒙特利尔奥林匹克体育场的一片膜结构在1999年的一场暴风雪中突然破裂;韩日世界杯济州岛体育场膜屋盖在2002年6月和8月先后两次在台风的袭击下出现膜材撕裂。国内如广州颐和山庄楼顶膜结构在2003年夏季台风中被撕裂;温州大学体育场看台膜结构在2004年8月台风“云娜”作用下发生整体破坏。2012年4月, 甘肃某中学的体育场看台顶棚膜结构被强风撕裂, 此看台膜结构竣工仅半年。

根据张拉膜结构工程破坏经历和试验观测, 人们普遍认为风与膜结构之间的耦合气动失稳可能是导致膜结构破坏的一个重要因素, Miyake A.[3]、Kawakita S.等人[4]都曾在对悬索屋盖模型的风洞试验中观测到此类失稳现象。

目前, 对于张拉膜结构的气动失稳机理在定性上有较为一致的观点[5,6]:在风速较低时薄膜以单模态振动为主, 随着风速加大, 薄膜振动呈现多模态振型叠加状态;同时认为发散失稳为单模态振型失稳, 颤振失稳为多模态耦合失稳。但在对临界失稳风速定量分析上进行的理论工作还比较少。Kunieda H.[7]研究了双曲抛物面薄膜屋盖结构长向的气动失稳情况, 通过10个联立的微分方程描述了该模型的气动响应, 并对方程进行稳定性判断得出了结构失稳的临界风速, 该研究思路在后人的研究中得到广泛的体现。本文借鉴Kunieda H.的研究思路, 基于冯·卡门薄膜大挠度理论, 采用达朗贝尔原理, 结合势流理论和薄翼型理论, 建立了张拉平面膜结构在风荷载作用下的非线性气动耦合控制方程。利用Bubnov-Galerkin法对控制方程进行求解, 并通过对其解的稳定性的判断, 得到其发散失稳临界风速。通过算例, 分析了结构各参数对其气动稳定性的影响, 提出了提高张拉平面膜结构气动稳定性的设计措施。

张拉平面膜结构模型如图1所示, 结构四边固支。x、y方向尺寸分别为a、b;x、y方向预张力分别为N0x和N0y;风速沿结构x向。

则相应的位移边界条件如下:

根据达朗贝尔原理[8], 膜结构在产生动力响应时其广义外荷载应包括作用于结构上的风荷载、结构阻尼力和惯性力。则作用于膜材投影面单位面积上的广义外荷载q (x, y) 为:

式中ρ0———膜材面密度;

ξ0———结构阻尼系数;

p1———封闭性膜结构内侧的气压 (室内气压) ;

p2———封闭性膜结构外侧的动气压 (室外气压) ;

w———膜的挠度;

t———时间。

膜结构的气动控制方程组应包括了弹性曲面微分方程、平衡微分方程和相容方程。当引入应力函数φ (x, y) 后, 平衡微分方程会被自动满足, 所以控制方程组中只剩下弹性曲面微分方程和相容方程。又由于在膜振动过程中, 剪应力对结构动力响应的影响很小, 可以忽略, 这样控制方程为:

式中h———膜材厚度;

kx、ky———x和y向的曲率;

k0x、k0y———x和y向的初始曲率;

E1、E2———x和y向弹性模量。

室外动气压可根据流体的伯努利方程得[9]:

式中ρ———空气密度;

V———风速;

φ'———扰动速度势函数;

z———曲面方程;

z0———初始曲面方程。

根据薄翼型理论, 可设满足拉普拉斯方程的对称翼型扰动速度势函数φ'=φ' (x, y, z, t) 为:

其中, Ra是薄膜在平面xoy上的投影。

将对称翼型扰动速度势函数式 (5) 代入式 (4) 中得:

假设在风荷载作用下膜结构的曲面函数为:

其中, z0 (x, y) 为初始曲面函数, 由于平面结构初始曲面函数z0 (x, y) =0, 则有:

由式 (7) 和 (8) 得初始曲率和动力响应过程中的曲率分别为:

将式 (8) 代入式 (6) 得:

其中:

其中,  , 积分区域Ra∈{0≤ξ≤a, 0≤η≤b}, A1项考虑了膜结构内侧的附着空气质量所产生的惯性荷载[10], 设ρ*=ρ。

将式 (9) 和 (10) 代入式 (3) 得:

根据Bubnov-Galerkin法, 设方程 (11) 和 (12) 的解为:

式中Wi (x, y) ———振型函数, 通常取为结构的自振模态;

Φi (x, y) ———未知应力函数;

 ———未知的时间函数。

在风速较低时, 膜以单模态振动为主;同时普遍认为发散失稳为单模态振型失稳, 本文只针对单模态振型的发散失稳临界风速进行研究。设满足位移边界条件式 (1) 的振型函数为:

其中, m、n取整数, 表示x向和y向的振型阶数。

将式 (14) 代入式 (13) 得位移函数为:

将式 (15) 代入相容方程 (12) 得:

设式 (16) 中应力函数的解为:

将式 (17) 代入式 (16) 可得:

将式 (15) 和 (17) 代入式 (11) 得:

其中:

运用Bubnov-Galerkin法对式 (18) 进行变换得:

其中, 积分区域S∈{0≤x≤a, 0≤y≤b}。

将式 (19) 简化得:

其中:

因A≠0 (由数值计算可得, 仅当b/a!0.1时, A≤0;在实际工程中这种情况不会发生) , 设e=B/A, c=-C/A, d=-D/A, 则方程 (20) 化为:

目前的研究表明, 当风速达到发散失稳临界风速时, 作用在结构上的气动力等于或将超过薄膜自重、惯性力和竖向约束之和。此时, 薄膜出现发散性气动失稳现象, 同时系统特征方程的频率趋近于零, 相当于静态的平衡失稳[11,12]。

方程 (21) 是关于T (t) 的二阶非线性微分方程, 设其满足初始条件T (t) ｜t=0=0的周期解为:

其中, f为振幅。

将式 (22) 代入式 (21) , 并运用Bubnov-Galerkin法得:

其中, T0=2π/ω为一个周期。

对式 (23) 积分后得:

系统发生发散失稳的临界条件为ω=0, 同时将A、C、D代入式 (25) 并化简得临界风速为:

从式 (25) 中可以看出, 在薄膜大挠度理论下, 结构的振动频率ω与结构的振幅f有关, 在不同的振幅下结构的刚度也将发生变化, 这也导致结构的振动频率的变化, 这也是几何非线性结构的特性。在式 (26) 中令f→0时, 可得到结构在小挠度理论下的发散失稳临界风速为:

以工程中常用的膜材为例, 取E1=1400 MPa, E2=900 MPa, ρ=1.226 kg/m3, h=0.001 m。设λ=b/a为横 (y) 、顺 (x) 风向跨度比;γ=N0x/N0y为顺 (x) 、横 (y) 风向预张力比。下面, 分别讨论各因素对结构气动失稳的影响规律, 式中α3由数值积分求得。

取膜结构参数为a=20 m, m=n=1, f=1 m, N0x=2 k N/m, γ=1;通过计算得横、顺风向跨度比λ与临界风速Vcr关系曲线, 如图2所示。

从图2中可以看出, 临界风速随横、顺风向跨度比λ增加而逐渐减小;当λ≤3时, 临界风速急剧下降;当λ>3时, 临界风速下降趋势趋于平缓。说明设计此类平面膜结构时其横、顺风向跨度比λ取值不宜过大 (当顺风向跨度一定时, 其横向跨度不应过大) , 以免造成结构在较低的风速下发生失稳破坏。

由于膜材具有正交异性, 从图2中E1>E2和E1<E2两种情况看出, 当λ<1时, 将膜材弹性模量小的方向布置在结构的顺风向时, 可提高其临界风速, λ越小, 效果越明显;当λ>1时, 将膜材弹性模量大的方向布置在结构的顺风向时, 可提高其临界风速, λ越大, 效果越明显, 在λ>3后, 其增加量基本保持不变;在λ=1时, 两种布置情况下得到的临界风速相等。

因此, 在实际工程中根据当地风况控制结构跨度比和合理布置膜材经、纬向都对防止结构发生气动失稳破坏有着积极的意义。

取膜结构参数为m=n=1, f=1 m, N0x=2 kN/m, γ=1;通过计算得顺风向跨度a与临界风速Vcr关系曲线, 如图3所示。

从图3中可以看出, 在不同λ情况下, 发散失稳临界风速都随结构跨度的增加而逐渐减小;当a≤30时, 临界风速下降幅度大;当a>30时, 临界风速下降趋势趋于平缓。说明在设计此类平面薄膜结构时跨度不宜过大;当跨度较小时其尺寸变化对其临界风速影响较大, 跨度较大时其尺寸变化对其临界风速影响较小。

取膜结构参数为m=n=1, f=1 m, a=20 m, γ=1;通过计算得顺风向预张力N0x与临界风速Vcr关系曲线, 如图4所示。

从图4中可以看出, 在不同λ情况下, 结构临界风速都随着预张力增大而增大, 但增大幅度随λ值的增大而稍有减小, 总体呈现为近似线性状态。说明增大结构预张力对提高其气动稳定性有着积极的影响。

取膜结构参数为m=n=1, f=1 m, a=20 m, N0x=2 k N/m;通过计算得横、顺风向预张力比γ与临界风速Vcr关系曲线, 如图5所示。

从图5中可以看出, 在不同λ情况下, 随着顺、横风向预张力比γ的增大, 其临界风速逐渐降低;当γ<1时, 临界风速随γ增加而急剧下降;当γ>1时, 其下降幅度趋于平缓。说明当结构顺风向预张力N0x一定时, 其横风向预张力N0y的施加对提高结构的气动稳定性有着积极的意义, 但只有在N0y≥N0x时才能显著提高结构的临界风速。

取膜结构参数为m=n=1, γ=1, a=20 m, N0x=2 k N/m;通过计算得振幅f与临界风速Vcr关系曲线, 如图6所示。

从图6中可以看出, 在不同λ情况下, 薄膜结构的临界风速随振幅f增大而增大, λ越小, 其增加幅度越大。当f→0时, 得到的临界风速退化为结构在小挠度理论下得到的结果。在大挠度理论下, 膜材发生横向位移时膜面内产生的附加应力得以考虑, 结构的横向刚度会随着挠度的增大而增大, 从而得到的临界风速也大于基于小挠度理论下的结果, 也更符合工程实际。

取膜结构参数为γ=1, f=1 m, a=20 m, N0x=2k N/m;计算在不同振型阶数下临界风速Vcr值, 见表1。

从表1可以看出, 当横风向跨度比顺风向跨度小时 (如:λ=0.25、0.5) , 随着顺风向振型阶数增加其临界风速逐渐降低, 此时结构失稳趋势为高阶振型发散失稳 (m>n=1) , 但失稳时振型阶数m随λ的增加而逐渐变小;随着λ的增加 (如:λ=1、2、4) , 结构失稳趋势转为低阶振型失稳 (m=n=1) 。从表1中还可看出, 一般情况下, 临界风速会随着振型阶数的增加而增大;当λ≤1时, 横风向振型阶数对临界风速的贡献大于顺风向;当λ≥1时, 情况则恰恰相反, 顺风向振型阶数对临界风速的贡献大于横风向。

基于冯·卡门薄膜大挠度理论, 建立了张拉平面膜结构在风荷载作用下的非线性气动耦合控制方程, 运用Bubnov-Galerkin法对控制方程进行求解, 推导出了其临界风速的表达式, 并分析了膜结构各参数对结构气动稳定性的影响。由分析可知, 张拉平面膜结构气动稳定性受多个参数共同控制, 合理的控制结构尺寸 (双向跨度) 和预张力是提高结构气动稳定性的主要手段, 但同时考虑结构本身的几何非线性, 以及根据实际风荷载工况合理布置膜材经、纬向, 这样才对防止结构发生失稳破坏有着积极的意义。