我国GB 50068—2001《建筑结构可靠度设计统一标准》[1]规定采用以概率理论为基础的极限状态设计方法来进行结构的可靠度设计, 以各种荷载、材料性能、几何尺寸和计算模式的不定性统计参数为基础确定抗力分项系数。但是, 当前各国设计规程仍然大多采用基于经验的安全系数法, 并非是标准的以概率理论为基础的极限状态设计方法。

在膜材料抗力性能统计方面, 吴明儿等[2]通过单、双轴拉伸试验确定了单层张拉式和气枕式结构的ETFE薄膜强度标准值, 并根据结构抗力不定性及荷载不定性统计参数, 确定了ETFE薄膜单层张拉式以及气枕式结构在风荷载与雪荷载组合时的材料抗力分项系数与强度设计值。张营营等[3]针对四种涂层织物类膜材, 进行了单向拉伸试验, 提出了其强度标准值的取值方法, 并采用“校准法”进行了结构失效概率分析, 将CECS 158:2004《膜结构技术规程》中的安全系数转换为可靠度指标β, 发现两类荷载组合 (预应力+风荷载, 预应力+雪荷载) 对应的安全系数都较大。

在膜结构可靠度分析领域, Gosling等[4]将BS EN 1990:2002《欧洲规范-结构设计基础》的一次二阶矩法 (FORM) 百富策略白菜网到张拉膜结构设计中, 研究表明张拉膜结构可以在欧洲规范的可靠度框架下进行设计, 但需要改进膜材料本构模型, 并评估撕裂损伤对膜结构影响。Zhou等[5]研究了纤维增强复合材料多尺度不确定性的传播和破坏准则的选择, 并计算了各破坏准则下复合材料的可靠性。对于多尺度不确定性问题, 采用三种类型的均匀化方法即混合规则、Mori-Tanaka和计算均匀化来链接微观和宏观尺度。Zhang[6]对PVC膜材进行了大量单、双轴拉伸试验, 根据试验统计值提出了PVC膜材抗力分项系数建议值, 并对马鞍形张拉式PVC膜结构采用一次二阶矩法和基于有限元的响应面法进行了可靠度分析, 验证了抗力分项系数的安全性。

针对上述问题, 作者基于现有规范和统计资料, 选取几种常见的PTFE膜材料, 进行材料性能、几何尺寸和计算模式不定性的分析, 采用概率极限状态设计法, 推导PTFE膜材在预应力+雪荷载、预应力+风荷载 (按风向) 和预应力+风荷载 (不按风向) 三种组合荷载作用下的抗力分项系数的建议值, 在此基础上, 采用多种方法进行结构可靠度分析, 校核抗力分项系数的安全性。研究可为完善膜结构设计理论, 实现概率极限状态设计方法提供重要参考。

选取两种常见的PTFE膜材FGT600和杜肯B18089, 每种膜材分别沿经向和纬向各取样60个, 试验样本总数为240个。试验时室温为20±2 ℃, 相对湿度为65%±3%, 对试样进行预调湿、调湿和检测, 试样的拉伸速度为100 mm/min。

双轴试样采用十字形切缝试件, 试样尺寸如图4所示。试验时保持试样经向、纬向的张拉荷载比例为1∶1, 沿标准张拉轴 (与经向一致) 按照恒定张拉速率10 mm/min加载直至膜材破坏, 记录数据。

基于一次二阶矩 (FORM) 的可靠度分析方法, 是将非线性功能函数展开成Taylor级数并取其一次项, 并按照可靠指标的定义形成求解方程。重要抽样Monte Carlo法, 该法通过改变随机抽样的中心, 使得样本点落入失效域几率增大, 计算精度和计算效率高。结构可靠度分析中的响应面法, 通过有限次的试验或结构分析回归拟合出一个显式的函数式Z=g (X1, X2…, Xn) , 从而代替结构真实响应与随机变量之间未知的、不能明确表达的函数关系, 并在此函数基础上进行可靠度分析。考虑交叉项的二次项形式响应面方程如下:

Zˉˉˉ=gˉ(X)=a+∑i=1nbixi+2∑i=1n−1∑j=i+1ncijxixj (1)Ζˉ=gˉ(X)=a+∑i=1nbixi+2∑i=1n-1∑j=i+1ncijxixj(1)

式中, a、bi和cij (i=1, 2, 3…n;j=2, 3, 4…n) 为待定系数。

结构构件材料性能是指制成构件材料的强度、弹性模量、泊松比等物理性能。由于材料本身品质的差异, 以及制作工艺、环境条件等因素引起的材料性能的变异, 导致了材料性能的不定性。材料性能不定性Ωf的平均值μΩf和变异系数δΩf为:

μΩf=μΩ0μΩ1ω0=μΩ0μfsω0fkδΩf=δ2Ω0+δ2fs−−−−−−−√ (2)μΩf=μΩ0μΩ1ω0=μΩ0μfsω0fkδΩf=δΩ02+δfs2(2)

式中:μfs、μΩ0、μΩ1分别为试件材料性能fs的平均值及随机变量Ω0、Ω1的平均值;δfs、δΩ0分别为试样材料性能fs的变异系数及随机变量Ω0的变异系数。

对于膜结构, 目前未见关于材料的力学性能与实际结构之间差异的相关文献。对于同一批材料中裁剪的试样, 其力学性能与实际结构相同。因此, ω0=1、μΩ0=1和δΩ0=0。

单轴抗拉强度试验结果如图5, 由式 (2) 计算得PTFE膜材材料性能不定性统计参数见表1。根据GB 50068—2001《建筑结构可靠度设计统一标准》[1]中“材料强度的概率分布宜采用正态分布或对数正态分布”的规定, 采用Shapiro-Wilk检验法进行正态分布检验, 检验结果P值均大于0.05, 表明上述2种材料单轴抗拉强度在5%置信度条件下都不拒绝接受正态分布。取各型号膜材95%保证率抗拉强度作为标准值fk=μfs-1.645σfs。

弹性模量计算方法参照DG/TJ 08-2019—2007《膜结构检测技术规程》[7]、MSAJ/M-02-1995[8]。试验结果如图6和表2所示, 对试验结果采用Shapiro-Wilk检验法进行正态分布检验, 检验结果P值均大于0.05, 表明弹性模量在5%置信度条件下都不拒绝接受正态分布。

结构构件几何参数的不定性Ωa的均值μΩa与变异系数δΩa的关系为

μΩa=μaakδΩa=δa (3)μΩa=μaakδΩa=δa(3)

式中ak、μa和δa分别为结构构件几何参数的标准值、平均值及变异系数。

几何不定性统计参数如表3, 后续取表中最大值μΩa=1.011, δΩa=0.012进行后续分析计算。

对于文中研究的膜材料, 其实际不定性主要在于抗力计算中采用的基本假定不完全符合实际引起的变异性, 如在设计中采用单轴抗拉强度数据来代替实际双轴抗拉强度。因此本节比较双向受力状态下的抗拉强度与经向单轴抗拉强度作为计算模式的不定性ΩA。

μΩA=∑i=1n(σbi/σub)n (4)δΩA=[∑i=1n(σbi/σub−μΩA)2]/n√μΩA (5)μΩA=∑i=1n(σbi/σub)n(4)δΩA=[∑i=1n(σbi/σub-μΩA)2]/nμΩA(5)

式中:σbi为第i试样双轴抗拉强度;σub为经向单轴抗拉强度均值;μΩA、δΩA分别为计算模式不定性ΩA的平均值和变异系数。

PTFE膜材FGT600的计算模式不定性直方图如图7, 统计参数如表4。可见, 膜材双轴受力对其抗拉强度有较大折减影响, 经Shapiro-Wilk检验, P值大于0.05, 表明计算模式不定性在5%置信度条件下不拒绝接受正态分布。对于PTFE膜材, 双轴受力状态下的膜材抗拉强度较之单轴受力状态下抗拉强度折减程度达到35%左右, 这与德国规范DIN 4134[9]较一致, DIN 4134中规定小宽度条带的试验强度值比双轴强度的折减系数为1.0～1.2 (节点和连接处为1.2) , 即折减程度为0～30%。因此, 亟待完善PTFE膜材计算模式不定性的统计分析。

构件抗力为

R=ΩAΩfΩaRk (6)R=ΩAΩfΩaRk(6)

构件抗力标准值为

Rk=ω0fkak (7)Rk=ω0fkak(7)

按随机变量函数统计参数的运算法, 得构件抗力均值μR和构件抗力变异系数δR分别为:

μR=μΩAμΩfμΩaRk (8)δR=δ2ΩA+δ2Ωf+δ2Ωa−−−−−−−−−−−−−−√ (9)μR=μΩAμΩfμΩaRk(8)δR=δΩA2+δΩf2+δΩa2(9)

抗力的均值比标准值 (即抗力不定性KR) 为

KR=μRRk=μΩAμΩfμΩa (10)ΚR=μRRk=μΩAμΩfμΩa(10)

综上分析可得PTFE膜材FGT600单层张拉膜结构抗力不定性统计参数, 见表5。

目前GB 50009—2012《建筑结构荷载规范》[10]沿用GBJ 64—1984《建筑结构设计统一标准》[11]中的风、雪荷载概率分布统计值。风、雪荷载服从极值I型分布, 本文中采用设计基准期50年最大荷载概率分布函数和统计参数进行抗力分项系数的推导和可靠度计算。由于预应力统计特性不详, 参照文献[2]取值。各荷载统计参数见表6。

计算抗力分项系数时基准年限取为50年, 使用时根据具体膜结构的设计使用年限所对应的结构重要性系数进行相应折减。结构重要性系数应根据结构的安全等级、设计使用年限确定。根据CECS 158:2015《膜结构技术规程》[12], 一般工业与民用建筑膜结构的安全等级可取为二级, 其结构重要性系数见表7。

由中心点法根据承载力失效极限状态方程Z=R-S=0, 推导目标可靠度指标与抗力分项系数关系式如 (11) [2], 式中默认荷载效应与抗力为独立正态随机变量。

β=KRγR(γG+γQρ)−(KG+KQρ)[KRγR(γG+γQρ)δR]2+(KGδG)2+(KQρδQ)2√ (11)H=∑i=1n[γRi(γGEGKi+γQEQKi)−γR(γGEGKi+γQEQKi)]2 (12)β=ΚRγR(γG+γQρ)-(ΚG+ΚQρ)[ΚRγR(γG+γQρ)δR]2+(ΚGδG)2+(ΚQρδQ)2(11)Η=∑i=1n[γRi(γGEGΚi+γQEQΚi)-γR(γGEGΚi+γQEQΚi)]2(12)

式中:γR为抗力分项系数;γG、γQ为永久荷载分项系数以及可变荷载分项系数;EGK、EQK为永久荷载标准值及可变荷载标准值;KG、KQ为永久荷载不定性及可变荷载不定性系数;δG、δQ为永久荷载变异系数及可变荷载变异系数;ρ为可变荷载与永久荷载效应标准值之比, 即ρ=EQKEGKρ=EQΚEGΚ;H为误差平方和;γRi为第i种荷载效应比值下的抗力分项系数。

不同行业确定的目标可靠度往往不同, 根据文献[1], 将张拉膜结构目标可靠度定为3.2。

对于张拉膜结构, 可变荷载是其主导荷载, 本文中考虑不同荷载效应比ρ来计算抗力分项系数, ρ分别为0.5、1.0、1.5、2.0、2.5和3.0。永久荷载分项系数γG和可变荷载分项系数γQ分别取为1.2和1.4。考虑三种荷载组合, 分别为预应力+雪荷载、预应力+风荷载 (按风向) 和预应力+风荷载 (不按风向) 。PTFE膜材在三种荷载效应组合下的抗力分项系数γRi见表8。

膜材最优的分项系数应满足使式 (12) 误差平方和H为最小的条件, 由此确定PTFE膜材最优抗力分项系数, 见表9。

根据文献[4]可知在膜结构荷载效应计算时, 各软件计算方法的差异会导致荷载效应的变异性, 当软件计算荷载效应小于实际时, 会导致膜结构设计的不安全性, 因此引入软件计算荷载效应安全系数k来对抗力分项系数进行修正。目前软件计算荷载效应尚未确定一个与真实情况相符的基准, 文献[4]中针对四种膜结构形式采用了二十款设计软件进行了分析计算, 并对风雪荷载效应下的膜面应力、变形进行了统计分析。本文中根据文献[4]中统计值, 排除图中误差值后, 将中位值作为基准, 取各软件计算得到的荷载效应中位值与最小值之比作为k, 可得雪荷载效应和风荷载效应k值分别为1.75和1.67。

在长期荷载作用下, PTFE张拉膜结构会产生应力松弛, 从而导致膜面应力降低及重分布现象。文献[14]中针对PTFE膜材进行了多种温度、拉伸速度下的应力松弛试验, 由试验可知随着时间的推移, 应力松弛速度越慢且趋于稳定, 将文献[13,14]中采用72 h时稳定应力与24 h时应力作比, 得到PTFE膜材预应力折减系数1.1。

根据以上计算分析和修正, 最终PTFE膜材抗力分项系数建议值见表10。

对于连接节点处及边缘部位的膜材, 存在局部削弱和应力集中, 参考德国规范DIN 4134[9]和CECS 158:2015《膜结构技术规程》[12], 取抗力分项系数修正系数1.20～1.33。

对比表10与表11数据可知, 本文中预应力与雪荷载组合下γR修正较小, 略低于规程建议值;预应力与风荷载组合下γR修正较大, 高于规程建议值。

采用多种可靠度计算方法校验了所提出的抗力分项系数, 并对PTFE张拉膜结构进行了承载力极限状态可靠度分析。根据简化功能函数Z=R-SG-SQ进行了综合可靠度分析。同时采用ANSYS有限元软件建立了PTFE马鞍形张拉膜结构并结合基于响应面的Monte Carlo法进行可靠度分析, 研究了预应力、可变荷载和矢跨比对该结构承载力极限状态可靠度的影响。

承载力极限状态可靠度分析, 需先确定各变量标准值, 再根据荷载不定性与抗力不定性确定各变量平均值和标准差, 然后根据各变量概率分布采用可靠度分析方法进行计算。先选定永久荷载效应标准值与可变荷载效应标准值, 经过分项系数组合得到综合荷载效应, 并据此结合表10中的抗力分项系数建议值γR确定PTFE膜材材料强度。

将若干恒荷载效应随机变量组合成综合恒荷载效应SG, 将若干活荷载效应随机变量组合成活荷载作用效应SQ, 将结构的抗力随机变量组合成综合抗力R, 建立功能函数Z=R-SG-SQ以简化计算。

对于张拉膜结构, 由于膜材质轻, 忽略其自重, 将预应力作为永久荷载效应。可靠度分析时先将预应力标准值定为3 kN/m, 再根据可变荷载与永久荷载效应比ρ确定可变荷载效应标准值, 由永久荷载效应和可变荷载效应标准值确定膜结构抗力标准值Rk, 然后根据表5和表6确定抗力和荷载效应的均值和变异系数, 如表12。该处荷载效应指张拉膜结构在风、雪荷载作用下的膜面应力。

经中心点法计算得到张拉膜结构可靠度指标见表13。由表可知中心点法计算所得的张拉膜结构可靠度指标β较大, 远大于3.0, 根据经验, 其计算误差较大, 参考价值不大。

由JC法迭代计算程序计算得到PTFE张拉膜结构可靠度指标β见表14。

重要抽样Monte Carlo法计算精度高, 但当失效概率较低时, 其计算所需时间久, 对计算机硬件要求高, 由重要抽样Monte Carlo法, 得到PTFE张拉膜结构可靠度指标β见表15。

由表14、表15可知, JC法与重要抽样Monte Carlo法可靠度分析结果相近, 说明JC法对于线性功能函数的可靠度分析较为精确;各荷载效应比下的可靠度指标均大于目标可靠度, 表明结构安全。由图8可知, 当荷载效应增大, 可靠度呈现减小趋势。

图9为采用本文与规程CECS 158:2015[12]中抗力分项系数设计时PTFE张拉膜结构可靠度指标β的对比图。可见, 在预应力与雪荷载组合下, 本文中提出的抗力分项系数建议值对应的可靠度指标β与规范值对应的可靠度指标比较接近, 差别很小;在预应力与风荷载组合下, 本文建议值对应的可靠度指标, 高于规范值对应的可靠度指标。

以上根据简化功能函数Z=R-SG-SQ进行了综合可靠度分析, 该法在校验结构可靠度时较为宏观, 计算时未考虑预应力、矢跨比、弹性模量对张拉膜结构可靠度的影响。以下采用有限元软件建立马鞍形张拉膜结构分析模型, 并结合基于响应面的Monte Carlo法进行了可靠度分析, 结果显示本节方法所得结构可靠度更贴近实际情况, 对于校验文中所提抗力分项系数建议值γR是否满足目标可靠度β=3.2更具参考价值。

基于ANSYS的APDL语言, 编制马鞍形结构可靠度分析程序, 通过ANSYS的可靠度分析模块提供的基于响应面的Monte Carlo法进行了可靠度分析。膜面风荷载分布采用文献[12]中建议的风荷载体型系数, 方向垂直于膜面;膜面雪荷载分别按均布雪荷载施加, 方向竖直于地面。根据最大主应力失效准则建立承载力极限状态方程式如下:

Z=fk−1.1σmax=0 (13)Ζ=fk-1.1σmax=0(13)

式中, fk为膜材抗拉强度标准值, γR取值根据表5, σmax为各种荷载组合作用下膜面最大主应力。

由于ANSYS软件计算结果与真实情况存在一定差异, 经过软件模拟膜面荷载态后发现, ANSYS分析所得结果较按文献[4]计算的中位值偏小, 故对ANSYS分析所得膜面最大主应力σmax进行1.1倍放大。

按表16输入弹性模量、膜材抗拉强度、预应力、风雪荷载随机变量的统计参数与概率分布形式。

基于以上步骤对张拉膜结构进行承载力极限状态可靠度分析, 同时进行了参数化分析, 以探究张拉膜结构预应力、矢跨比和荷载的变化对张拉膜结构可靠度的影响。

1) 预应力。分析各荷载组合下膜面预应力对可靠度影响时, 张拉膜结构跨度L=9.0 m, 矢跨比f/L=1/8, 风荷载和雪荷载标准值均为0.5 kN/m2, 预应力标准值pk范围取为1.0～5.0 kN/m, 按表6荷载统计参数确定荷载均值和标准差。

可靠度分析结果见图10, 当预应力增大, 可靠度呈现增大趋势, 其中雪荷载、风荷载 (按风向0°) 和不按风向风荷载 (不按风向) 作用下增大幅度最为显著, 说明PTFE张拉膜结构预应力不宜设置过低, 文献[7]中规定PTFE膜结构预应力定为2～6 kN/m较为合理, 为此建议范围为3～6 kN/m;各预应力下可靠度指标均大于目标可靠度指标3.2, 结构安全。

2) 可变荷载。分析各荷载组合下可变荷载对可靠度影响时, 张拉膜结构跨度L=9.0 m, 矢跨比f/L=1/8, 预应力标准值pk取为3.0 kN/m, 风荷载和雪荷载标准值范围取为0.3～0.8 kN/m2。

可靠度分析结果见图11, 随着可变荷载增大, 仅风荷载 (按风向45°) 作用下可靠度增大, 其余荷载作用下可靠度均呈现减小趋势。在雪荷载作用下, 当荷载大于0.6 kN/m2时, 结构可靠度略低于目标可靠度, 建议当雪荷载标准值大于0.6 kN/m2可适当增大膜材强度, 并采取除雪融雪措施。

3) 矢跨比。分析各荷载组合下可变荷载对可靠度影响时, 张拉膜结构跨度L=9.0 m, 风荷载和雪荷载标准值取为0.5 kN/m2, 预应力标准值pk取为3.0 kN/m, 矢跨比f/L范围为1/16～1/6。

可靠度分析结果见图12, 随着矢跨比增大, 仅风荷载 (按风向45°) 作用下可靠度减小, 其余荷载作用下可靠度均呈现增大趋势;当矢跨比小于1/12时, 雪荷载作用下结构可靠度低于目标可靠度。因此在张拉膜结构设计时矢跨比宜大于1/12以保证结构可靠性。

1) 对PTFE膜材进行了单、双轴拉伸试验, 统计得到了PTFE膜材材料性能不定性、几何不定性和计算模式不定性, 由此推导出抗力不定性。由此基于概率极限状态设计方法得到了PTFE膜材材料抗力分项系数, 雪荷载组合下为4.8, 风荷载 (按风向) 组合下为3.7, 风荷载 (不按风向) 组合下为3.9。

2) 采用多种可靠度分析方法对本文的抗力分项系数建议值进行了验证, 结果均满足目标可靠度。对PTFE马鞍形张拉膜结构进行了承载力极限状态可靠度分析, 结果表明, 当预应力增大, 可靠度呈现增大趋势;当可变荷载增大, 仅风荷载 (按风向45°) 作用下可靠度增大, 其余荷载作用下可靠度均呈现减小趋势;当矢跨比增大, 仅风荷载 (按风向45°) 作用下可靠度减小, 其余荷载作用下可靠度均呈现增大趋势。

3) 建议在PTFE马鞍形膜结构设计时, 膜面预应力范围为3～6 kN/m, 矢跨比应大于1/12以保证结构可靠性;当雪荷载标准值大于0.6 kN/m2时应适当增大膜材强度设计值, 并采取除雪融雪措施。